equação de Bernoulli(integral de Bernoulli) em hidroaeromecânica [[em nome do cientista suíço D. Bernoulli], uma das equações básicas da hidromecânica, que, com o movimento estacionário de um fluido ideal incompressível em um campo de gravidade uniforme, tem a forma:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
onde v é a velocidade do líquido, ρ é sua densidade, p é a pressão nele, h é a altura da partícula líquida acima de um certo plano horizontal, g é a aceleração de queda livre, C é um valor que é constante em cada linha de corrente, mas no caso geral alterando seu valor ao passar de uma linha de linha para outra.

A soma dos dois primeiros termos do lado esquerdo da equação (1) é igual ao potencial total, e o terceiro termo é igual às energias cinéticas, referidas em unidades. massas de líquido; portanto, toda a equação expressa para um fluido em movimento a lei de conservação da energia mecânica e estabelece uma importante relação entre v, p e h. Por exemplo, se a uma constante h a velocidade do fluxo ao longo da linha de corrente aumenta, então a pressão diminui e vice-versa. Esta lei é usada ao medir a velocidade usando tubos de medição e em outras medições aerodinâmicas.

A equação de Bernoulli também é apresentada na forma
h + p/γ + v 2 /2g = C ou
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(onde γ =ρg é a gravidade específica do líquido). Na 1ª igualdade, todos os termos têm dimensão de comprimento e são chamados de alturas geométricas (de nivelamento), piezométricas e de velocidade correspondentes, e na 2ª - as dimensões de pressão e são chamados respectivamente de peso, pressões estáticas e dinâmicas.

No caso geral, quando o líquido é compressível (gás), mas barotrópico, ou seja, p nele depende apenas de ρ, e quando seu movimento ocorre em qualquer campo exceto potencial de forças volumétricas (massa) (ver Campo de força), o A equação de Bernoulli é obtida como consequência das equações de Euler da hidromecânica e tem a forma:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
onde P é a energia potencial (potencial) do campo de forças do corpo, referida em unidades. massas de líquido. Com o fluxo de gases, o valor de P muda pouco ao longo da linha de corrente, podendo ser incluído em uma constante apresentando (3) na forma:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

Em aplicações técnicas, para o fluxo médio sobre a seção transversal do canal, o chamado. equação de Bernoulli generalizada: mantendo a forma das equações (1) e (3), o lado esquerdo inclui o trabalho das forças de atrito e superação da resistência hidráulica, bem como o trabalho mecânico de um líquido ou gás (o trabalho de um compressor ou turbinas ) com o sinal correspondente. A equação de Bernoulli generalizada é amplamente utilizada em hidráulica ao calcular o fluxo de líquidos e gases em tubulações e em engenharia mecânica ao calcular compressores, turbinas, bombas e outras máquinas hidráulicas e a gás.

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Equação de Bernoulli (integral de Bernoulli)

equação de Bernoulli(integral de Bernoulli) em hidroaeromecânica [[em nome do cientista suíço D. Bernoulli], uma das equações básicas da hidromecânica, que, com o movimento estacionário de um fluido ideal incompressível em um campo de gravidade uniforme, tem a forma:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
onde v é a velocidade do líquido, ρ é sua densidade, p é a pressão nele, h é a altura da partícula do líquido acima de um certo plano horizontal, g é a aceleração de queda livre, C é um valor constante em cada linha de corrente , mas no caso geral alterando seu valor ao passar de uma linha de corrente para outra.

A soma dos dois primeiros termos do lado esquerdo da equação (1) é igual ao potencial total, e o terceiro termo é igual às energias cinéticas, referidas em unidades. massas de líquido; portanto, toda a equação expressa para um fluido em movimento a lei de conservação da energia mecânica e estabelece uma importante relação entre v, p e h. Por exemplo, se a uma constante h a velocidade do fluxo ao longo da linha de corrente aumenta, então a pressão diminui e vice-versa. Esta lei é usada ao medir a velocidade usando tubos de medição e em outras medições aerodinâmicas.

A equação de Bernoulli também é apresentada na forma
h + p/γ + v 2 /2g = C ou
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(onde γ =ρg é a gravidade específica do líquido). Na 1ª igualdade, todos os termos têm a dimensão de comprimento e são chamados de alturas geométricas (de nivelamento), piezométricas e de velocidade correspondentes, e na 2ª igualdade têm as dimensões de pressão e são chamados respectivamente de peso, pressão estática e pressão dinâmica.

No caso geral, quando o líquido é compressível (gás), mas barotrópico, ou seja, p nele depende apenas de ρ, e quando seu movimento ocorre em qualquer campo exceto potencial de forças volumétricas (massa) (ver Campo de força), o A equação de Bernoulli é obtida como consequência das equações de Euler da hidromecânica e tem a forma:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
onde P é a energia potencial (potencial) do campo de forças do corpo, referida em unidades. massas de líquido. Com o fluxo de gases, o valor de P muda pouco ao longo da linha de corrente, podendo ser incluído em uma constante apresentando (3) na forma:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

Em aplicações técnicas, para o fluxo médio sobre a seção transversal do canal, o chamado. equação de Bernoulli generalizada: mantendo a forma das equações (1) e (3), o lado esquerdo inclui o trabalho das forças de atrito e superação da resistência hidráulica, bem como o trabalho mecânico de um líquido ou gás (o trabalho de um compressor ou turbinas ) com o sinal correspondente. A equação de Bernoulli generalizada é amplamente utilizada em hidráulica ao calcular o fluxo de líquidos e gases em tubulações e em engenharia mecânica ao calcular compressores, turbinas, bombas e outras máquinas hidráulicas e a gás.

lei de Bernoullié uma consequência da lei de conservação de energia para um fluxo estacionário de um fluido incompressível ideal (ou seja, sem atrito interno):

Densidade líquida,

quociente de vazão,

A altura em que o elemento de fluido em consideração está localizado,

A pressão no ponto no espaço onde o centro de massa do elemento de fluido em consideração está localizado,

Aceleração da gravidade.

A constante do lado direito é geralmente chamada pressão, ou pressão total, e também Integral de Bernoulli. A dimensão de todos os termos é uma unidade de energia por unidade de volume de líquido.

Essa proporção, derivada por Daniel Bernoulli em 1738, recebeu o nome dele. equação de Bernoulli. (Não confundir com a equação diferencial de Bernoulli.)

Para tubo horizontal h= 0 e a equação de Bernoulli assume a forma: .

Esta forma da equação de Bernoulli pode ser obtida integrando a equação de Euler para um fluxo de fluido unidimensional estacionário, a uma densidade constante ρ: .

De acordo com a lei de Bernoulli, a pressão total em um fluxo estacionário de fluido permanece constante ao longo desse fluxo.

pressão total consiste em hidrostática (ρ gh), pressão atmosférica (p) e pressão dinâmica.

Segue-se da lei de Bernoulli que, à medida que a seção transversal do fluxo diminui, devido ao aumento da velocidade, ou seja, da pressão dinâmica, a pressão estática diminui. Esta é a principal razão para o efeito Magnus. A lei de Bernoulli também é válida para fluxos laminares de gás. O fenômeno da diminuição da pressão com o aumento da vazão está na base da operação de vários tipos de medidores de vazão (por exemplo, um tubo Venturi), bombas de jato de água e vapor.

A lei de Bernoulli é válida em sua forma pura apenas para líquidos cuja viscosidade é zero, ou seja, líquidos que não aderem à superfície do tubo. De fato, foi estabelecido experimentalmente que a velocidade de um líquido na superfície de um corpo sólido é quase sempre exatamente zero (exceto em casos de separação do jato em certas condições raras).

A lei de Bernoulli pode ser aplicada ao escoamento de um fluido incompressível ideal através de um pequeno orifício na parede lateral ou no fundo de um vaso largo.

De acordo com a lei de Bernoulli, igualamos as pressões totais na superfície superior do líquido e na saída do orifício:

,

p 0 - pressão atmosférica,

hé a altura da coluna de líquido no recipiente,

v- taxa de fluxo de fluido.

Daqui: . Esta é a fórmula de Torricelli. Ela mostra que, quando um fluido incompressível ideal escoa de um orifício em um vaso largo, o fluido adquire uma velocidade que seria recebida por um corpo caindo livremente de uma altura. h.

equações da hidrodinâmica - uma integral que determina a pressão p em cada ponto de um fluxo estacionário de um líquido homogêneo ideal ou gás barotrópico através da velocidade do fluxo no ponto correspondente e através da função de força das forças do corpo: Se o movimento for potencial, então a constante C para todo o fluxo é a mesma. Para o movimento instável B. e. (às vezes chamada de integral de Cauchy-Lagrange) ocorre na presença de um potencial de velocidade: e é uma função arbitrária do tempo. Para um fluido incompressível, o lado esquerdo das equações (1), (2) é reduzido à forma; para gás barotrópico - na forma: B. e. proposto por D. Bernoulli (D. Bernoulli, 1738). Lit.: Mil n-Thomson L. M., Hidrodinâmica teórica, trans. do inglês., M., 1964. L. N. Sretensky.

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Integrante- [chá; m. [de lat. inteiro - inteiro] Matemática. A quantidade resultante do inverso da diferenciação.
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Bernoulli— (Bernoulli) Daniel (1700-82), matemático e físico suíço, membro de uma famosa família de matemáticos. Em seus trabalhos sobre hidrodinâmica, ele mostrou que a pressão de um líquido diminui com ........

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Bernoulli- (Bernoulli) Johann (1667-1748) - membro honorário estrangeiro da Academia de Ciências de Petersburgo (1725), irmão de Jacob. Procedimentos sobre o cálculo de infinitesimais e o cálculo de variações.

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Bernouli, Daniel- - Membro da Academia das Ciências, matemático e médico, b. 29 de janeiro de 1700 em Groningen, Suíça, d. 17 de março de 1782 em Basileia A família Bernoulli vem de Antuérpia. Fugindo dos religiosos...

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distribuição de Bernoulli— Ver distribuição, binomial.
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Integral de Bernoulli.

Vamos dar uma forma diferente à equação do momento. Para fazer isso, usamos a conhecida fórmula de análise vetorial

colocando nele. Portanto, a igualdade

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, a equação do momento assumirá a forma da equação de Gromeka-Lamb

(2.79)

Como veremos mais adiante, esta forma de equação é extremamente conveniente para analisar o escoamento de um fluido ideal.

Vamos primeiro considerar o caso de um fluxo estacionário, ou seja, definimos , e multiplicamos (2,48) escalar pelo vetor . Então nós pegamos

(2.80)

Como as forças do corpo têm um potencial P, então

No entanto, suponha que haja uma função de pressão

Os fluxos em que a densidade depende apenas da pressão são chamados de barotrópicos. Gradiente de função igual a

pode ser considerado como um vetor da ação de volume das forças de superfície, e a própria função como potencial de ação de volume das forças de superfície.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, (2.80) dá

O valor entre parênteses é chamado trinômio de Bernoulli e denotado como EM: .

Então, , onde denota a derivada tomada ao longo da linha de corrente. Daí segue que B=const ou

(2.83)

Lembre-se de que esta relação é válida ao longo da linha de corrente. Ao passar de uma linha de corrente para outra, a constante pode, em princípio, mudar. A igualdade (2.83) será válida em toda a região de escoamento se , o que é possível em ou em .

A igualdade (2.83) é chamada Integral de Bernoulli. A relação (2.83) é frequentemente chamada também teorema (equação) de Bernoulli.

Em hidromecânica (e especialmente em hidráulica), o caso mais comum é a integral de Bernoulli para um fluido incompressível. Vamos colocar ρ=const. Então . Vamos assumir que o líquido está apenas sob a ação da gravidade, ou seja, , Onde y- eixo direcionado verticalmente para cima. Assim, o teorema de Bernoulli assume a seguinte forma:

(2.84)

Se dividirmos todos os termos pela aceleração da gravidade g e denote a constante por H*, então você pode escrever

, (2.85)

onde é a gravidade específica; H*– altura hidráulica

e dê ao teorema de Bernoulli a formulação clássica:

no movimento estacionário de um fluido incompressível ideal pesado, a altura hidráulica H*, igual à soma de alta velocidade, piezométrica e nivelamento no altura, permanece constante ao longo de qualquer linha de corrente (ou linha de vórtice).

Desprezando as forças da gravidade, o teorema de Bernoulli pode ser dado a uma forma mais simples:

(2.86)

O primeiro membro do lado esquerdo é chamado de cabeça piezométrica ou pressão estática, o segundo termo é chamado de cabeça de velocidade ou pressão dinâmica. O lado direito representa a cabeça total ou pressão de frenagem.

Consideremos agora o escoamento adiabático da água no contexto de um fluido ideal sem peso. De acordo com a equação de Tate, teremos

Portanto, o teorema de Bernoulli para água compressível ficaria assim:

(2.87)

Suponhamos que o líquido adquira parâmetros no ponto onde a velocidade desaparece. Se na realidade não existe tal ponto, então pode-se imaginar o movimento imaginário de um fluido compressível ideal, desacelerando-o adiabaticamente. As quantidades e neste caso são chamadas de pressão e densidade de estagnação, respectivamente. Sob a hipótese feita, a equação (2.87) assume a forma

(2.88)

Integral de Bernoulli. - conceito e tipos. Classificação e características da categoria "integral de Bernoulli". 2017, 2018.