Bernoullijeva jednadžba (Bernoullijev integral). Bernoullijeva jednadžba (Bernoullijev integral) Izvođenje Torricellijeve formule iz Bernoullijevog zakona

Bernoullijeva jednadžba(Bernoullijev integral) u hidroaeromehanici [[nazvan po švicarskom znanstveniku D. Bernoulliju], jedna od temeljnih jednadžbi hidromehanike, koja pri ravnomjernom gibanju nestlačive idealne tekućine u jednoličnom polju gravitacije ima oblik:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
gdje je v brzina tekućine, ρ njezina gustoća, p tlak u njoj, h visina čestice tekućine iznad određene horizontalne ravnine, g ubrzanje slobodnog pada, C vrijednost konstantna na svakoj strujnica, ali u općem slučaju mijenja svoju vrijednost pri prelasku s jedne strujnice na drugu.

Zbroj prva dva člana na lijevoj strani jednadžbe (1) jednak je ukupnom potencijalu, a treći član jednak je kinetičkoj energiji izraženoj u jedinicama. tekuća masa; Posljedično, cijela jednadžba izražava zakon očuvanja mehaničke energije za fluid koji se kreće i uspostavlja važan odnos između v, p i h. Na primjer, ako se pri konstantnom h povećava brzina strujanja duž strujnice, tada se smanjuje tlak i obrnuto. Ovaj se zakon koristi kod mjerenja brzine pomoću mjernih cijevi i drugih aerodinamičkih mjerenja.

Bernoullijeva jednadžba također je prikazana u obliku
h + p/γ + v 2 /2g = C ili
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(gdje je γ =ρg specifična težina tekućine). U 1. jednakosti svi članovi imaju dimenziju duljine i nazivaju se odgovarajućim geometrijskim (nivelmanskim), piezometrijskim i brzinskim visinama, au 2. - dimenzijama tlaka i nazivaju se redom težinskim, statičkim i dinamičkim tlakom.

U općem slučaju, kada je fluid stlačiv (plin), ali barotropan, tj. p u njemu ovisi samo o ρ, i kada se njegovo gibanje događa u bilo kojem osim potencijalnom polju volumetrijskih (masenih) sila (vidi Polje sila), Bernoullijev jednadžba je dobivena kao posljedica Eulerovih jednadžbi mehanike fluida i ima oblik:
P+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
gdje je P potencijalna energija (potencijal) volumetrijskog polja sile, izražena u jedinicama. masa tekućine. Kada plinovi teku, vrijednost P se malo mijenja duž strujnice i može se uključiti u konstantu, prikazujući (3) u obliku:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

U tehničkim primjenama, za protok prosječan po presjeku kanala, tzv generalizirana Bernoullijeva jednadžba: uz očuvanje oblika jednadžbi (1) i (3), lijeva strana uključuje rad sila trenja i svladavanje hidrauličkog otpora, kao i mehanički rad tekućine ili plina (rad kompresora ili turbine ) s odgovarajućim znakom. Generalizirana Bernoullijeva jednadžba ima široku primjenu u hidraulici pri proračunu protoka tekućina i plinova u cjevovodima te u strojogradnji pri proračunu kompresora, turbina, pumpi i drugih hidrauličkih i plinskih strojeva.

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

Bernoullijeva jednadžba (Bernoullijev integral)

Bernoullijev zakon je posljedica zakona održanja energije za stacionarno strujanje idealnog (tj. bez unutarnjeg trenja) nestlačivog fluida:

Gustoća tekućine,

Protok,

Visina na kojoj se nalazi predmetni fluidni element,

Tlak u točki u prostoru gdje se nalazi centar mase elementa fluida koji se razmatra,

Ubrzanje gravitacije.

Obično se zove konstanta na desnoj strani pritisak, odnosno ukupni tlak, kao i Bernoullijev integral. Dimenzija svih članova je jedinica energije po jedinici volumena tekućine.

Ovaj odnos, koji je izveo Daniel Bernoulli 1738. godine, nazvan je po njemu Bernoullijeva jednadžba. (Ne smije se brkati s Bernoullijevom diferencijalnom jednadžbom.)

Za vodoravnu cijev h= 0 i Bernoullijeva jednadžba ima oblik: .

Ovaj oblik Bernoullijeve jednadžbe može se dobiti integracijom Eulerove jednadžbe za stacionarno jednodimenzionalno strujanje fluida, s konstantnom gustoćom ρ: .

Prema Bernoullijevom zakonu, ukupni tlak u stacionarnom protoku fluida ostaje konstantan duž protoka.

Puni pritisak sastoji se od hidrostatskog (ρ gh), atmosferski (p) i dinamički tlak.

Iz Bernoullijevog zakona proizlazi da smanjenjem presjeka strujanja, zbog povećanja brzine, odnosno dinamičkog tlaka, opada statički tlak. To je glavni razlog za Magnusov učinak. Bernoullijev zakon vrijedi i za laminarna strujanja plina. Fenomen smanjenja tlaka s povećanjem protoka temelji se na radu različitih vrsta mjerača protoka (na primjer, Venturijeva cijev), vodenih i parnih mlaznih pumpi.

Bernoullijev zakon u čistom obliku vrijedi samo za tekućine čija je viskoznost jednaka nuli, odnosno tekućine koje se ne lijepe za površinu cijevi. U stvari, eksperimentalno je utvrđeno da je brzina tekućine na površini krutine gotovo uvijek jednaka nuli (osim u slučaju odvajanja mlaza pod nekim rijetkim uvjetima).

Bernoullijev zakon može se primijeniti na protok idealne nestlačive tekućine kroz malu rupu u bočnoj stijenci ili dnu široke posude.

Prema Bernoullijevom zakonu izjednačujemo ukupne tlakove na gornjoj površini tekućine i na izlazu iz otvora:

str 0 - atmosferski tlak,

h- visina stupca tekućine u posudi,

v- brzina protoka tekućine.

Odavde: . Ovo je Torricellijeva formula. Pokazuje da kada idealna nestlačiva tekućina istječe iz rupe u širokoj posudi, tekućina dobiva brzinu koju bi postiglo tijelo koje slobodno pada s visine h.

jednadžbe hidrodinamike - integral koji određuje tlak p u svakoj točki stacionarnog toka idealne homogene tekućine ili barotropnog plina kroz brzinu strujanja u odgovarajućoj točki i kroz funkciju sile volumetrijskih sila: Konstanta Ima svoju vrijednost za svaku strujnica, koja se mijenja pri prelasku s jedne strujnice na drugu. Ako je gibanje potencijalno, tada je konstanta C jednaka za cijeli tok. Za nestacionarno gibanje B. i. (ponekad zvan Cauchy-Lagrangeov integral) odvija se u prisutnosti potencijala brzine: i to je proizvoljna funkcija vremena. Za nestlačivu tekućinu lijeva strana jednadžbi (1), (2) svodi se na oblik; za barotropni plin - na oblik: B. i. predložio D. Bernoulli (1738). Lit.: Miln-Thomson L.M., Teorijska hidrodinamika, trans. s engleskog, M., 1964. L. N. Sretensky.

Pogledaj vrijednost Bernoullijev integral u drugim rječnicima

Sastavni- M. Matematika. lat. konačna, mjerljiva veličina, u odnosu na njezin infinitezimalni dio, na diferencijal. račun, umijeće pronalaženja integrala nad diferencijalom.........
Dahlov eksplanatorni rječnik

Sastavni- integral, m. (od lat. integer - cijeli) (mat.). Konačna mjerljiva veličina u odnosu na njezin infinitezimalni dio – na diferencijal.
Ušakovljev objašnjavajući rječnik

Integral M.— 1. Cijela količina koja se smatra zbrojem svojih infinitezimalnih dijelova.
Objašnjavajući rječnik Efremove

Sastavni- [te], -a; m. [od lat. integer - cijeli] Math. Količina koja proizlazi iz inverzne diferencijacije.
◁ Integralni, -aya, -oe. I-ti račun (odsjek matematike,........
Kuznjecovljev eksplanatorni rječnik

Bernoulli, Daniel— (Bernoulli, Daniel) (1700.-1782.) švicarski matematičar i prirodoslovac. Pripadao je poznatoj obitelji znanstvenika, čiji je osnivač Jacob Bernoulli bio rodom iz Nizozemske.........
Ekonomski rječnik

Bernoullijev princip- (D. Bernoulli, 1700.-1782., švicarski znanstvenik) pravilo prema kojem je sila kontrakcije mišića, pod ostalim jednakim uvjetima, proporcionalna duljini njegovih mišićnih vlakana, odnosno stupnju njegove..... .
Veliki medicinski rječnik

Bernoulli— (Bernoulli) Daniel (1700.-82.), švicarski matematičar i fizičar, član poznate obitelji matematičara. U svojim radovima iz hidrodinamike pokazao je da tlak tekućine opada s........

Bernoullijev zakon— , za stabilan protok (plin ili tekućina), zbroj tlaka, kinetičke energije po jedinici volumena i potencijalne energije po jedinici volumena je konstantan........
Znanstveni i tehnički enciklopedijski rječnik

Sastavni- (oznaka t). Matematički simbol koji se koristi u CALCULUSU koji predstavlja operaciju zbrajanja. funkcija f(x), zapisana kao m f(x)dx, može predstavljati površinu........
Znanstveni i tehnički enciklopedijski rječnik

Bernoulli- (Bernoulli) Johann (1667.-1748.) - inozemni počasni član Peterburške akademije znanosti (1725.), Jakovljev brat. Radi na računu infinitezimala i varijacijskom računu.

Bernoullijev teorem- jedan od ograničavajućih teorema teorije vjerojatnosti; najjednostavniji slučaj zakona velikih brojeva, odnosi se na raspodjelu odstupanja u učestalosti pojavljivanja nekog slučajnog......
Veliki enciklopedijski rječnik

Bernoullijeva jednadžba— povezuje brzinu i tlak u strujanju idealne nestlačive tekućine pri ravnomjernom strujanju. izražava zakon održanja energije tekućine koja se giba. Široko korišten u ........
Veliki enciklopedijski rječnik

Sastavni- (od latinskog integer - cijeli) - vidi račun.
Veliki enciklopedijski rječnik

Višestruki integral— integral funkcije više varijabli. Određuje se pomoću integralnih zbrojeva, slično određenom integralu funkcije jedne varijable (vidi Integral.........
Veliki enciklopedijski rječnik

Krivolinijski integral— integral funkcije definirane duž bilo koje krivulje na ravnini ili u prostoru. Može se svesti na određeni integral, a pod nekim dodatnim uvjetima........
Veliki enciklopedijski rječnik

Neodređeni integral
Veliki enciklopedijski rječnik

Nepravilan integral— generalizacija koncepta integrala na slučaj neograničenih funkcija i funkcija definiranih na beskonačnom intervalu integracije.
Veliki enciklopedijski rječnik

Određeni integral— vidi Integralni račun.
Veliki enciklopedijski rječnik

Površinski integral je integral funkcije definirane na nekoj površini. Pod određenim uvjetima može se svesti na trostruki integral (formula Ostrogradskog).
Veliki enciklopedijski rječnik

Bernoulli, Daniel— - Član akademije znanosti, matematičar i doktor, rođ. 29. siječnja 1700. u Groningenu, Švicarska, um. 17. ožujka 1782. u Baselu. Obitelj Bernoulli dolazi iz Antwerpena. Bijeg od religije........

Bernoulli, Ivan— - brat Daniela Bernoullija, rođ. u Baselu 18. svibnja 1710. um. tamo 18. srpnja 1790. U mladosti je studirao pravo na sveučilištu u Baselu. Sa 14 godina sam dobio diplomu........
Velika biografska enciklopedija

Bernoulli, Nikolaj- - pravnik i matematičar, sin Johanna Bernoullija rođ. 27. siječnja 1695. u Groningenu ili Baselu, um. u Petrogradu 29. srpnja 1726. Od djetinjstva se odlikovao živahnošću uma i izvanrednim........
Velika biografska enciklopedija

Bernoulli, Jakov— - nećak Daniela Bernoullija, profesora matematike u Petrogradu, rođ. 27. listopada 1759. u Baselu, um. 15. srpnja 1789. u Petrogradu. Nakon završenog studija na Sveučilištu u Baselu,........
Velika biografska enciklopedija

Integral, Mihail- objavio zbirku.
Velika biografska enciklopedija

Bernoulli- (Bernoulli) - Švicarska obitelj. znanstvenika na području glazbe. akustika. Johann B. (17. VII 1667., Basel - 1. I 1748., ibid.) - autor studije “Izumi na polju vibracija napetih akorda” (“Erfindungen........
Glazbena enciklopedija

Bernoulli, Distribucija— Vidi binomna distribucija.
Psihološka enciklopedija

Bernoulli, Test- Svaki test ili situacija s dva moguća rezultata koji se međusobno isključuju i iscrpljuju; na primjer, glava/rep pri bacanju novčića. U nizu Bernoullijevih testova........
Psihološka enciklopedija

Bernoullijev princip— (D. Bernoulli, 1700.-1782., švicarski znanstvenik)
pravilo prema kojem je snaga mišićne kontrakcije, pod istim uvjetima, proporcionalna duljini njegovih mišićnih vlakana, odnosno stupnju......
Medicinska enciklopedija

Potreba-integralni- G. Murray pojam koji se koristi za karakterizaciju dinamičke integracije obrazaca ponašanja, uključujući staze, pokrete, ciljeve i ciljne objekte osobe.........
Psihološka enciklopedija

Bernoullijeva distribucija— Vidi distribucija, binom.
Psihološka enciklopedija

Bernoullijev integral.

Dajmo jednadžbi količine gibanja drugačiji oblik. Da bismo to učinili, koristit ćemo dobro poznatu formulu vektorske analize

stavljajući ga u njega. Dakle, jednakost je istinita

Međutim, jednadžba impulsa će imati oblik Gromeka-Lambove jednadžbe

(2.79)

Kao što ćemo vidjeti kasnije, ovaj oblik jednadžbe je izuzetno prikladan za analizu protoka idealnog fluida.

Razmotrimo najprije slučaj stacionarnog toka, tj. skup , i pomnožimo (2.48) skalarno s vektorom . Onda dobivamo

(2.80)

Kako masene sile imaju potencijal P, onda

Pritom neka postoji funkcija pritiska

Strujanja kod kojih gustoća ovisi samo o tlaku nazivaju se barotropna. Gradijent funkcije jednak je

može se smatrati vektorom volumetrijskog djelovanja površinskih sila, a sama funkcija kao potencijal volumetrijskog djelovanja površinskih sila.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, (2.80) daje

Iznos u zagradama naziva se Bernoullijev trinom i označava se kao U: .

Tako, , gdje znači derivacija uzduž strujnice. Iz toga slijedi da B=konst ili

(2.83)

Prisjetimo se da ova relacija vrijedi duž strujnice. Pri prelasku s jedne strujne linije na drugu, konstanta se u načelu može promijeniti. Jednakost (2.83) vrijedit će za cijelo područje strujanja ako je , što je moguće za ili za .

Jednakost (2.83) se zove Bernoullijev integral. Često se naziva i relacija (2.83). Bernoullijev teorem (jednadžba).

U mehanici fluida (a posebno u hidraulici) najčešći je slučaj Bernoullijev integral za nestlačivi fluid. Stavimo ρ=konst. Zatim . Pretpostavit ćemo da je tekućina samo pod utjecajem gravitacije, tj. , Gdje g– os usmjerena okomito prema gore. Stoga Bernoullijev teorem ima sljedeći oblik:

(2.84)

Ako sve članove podijelimo s gravitacijskim ubrzanjem g a konstantu označimo sa N*, onda možemo pisati

, (2.85)

gdje je specifična težina; N*– hidraulička visina

i dati Bernoullijevom teoremu klasičnu formulaciju:

za stacionarno gibanje teške idealne nestlačive tekućine hidraulička visina N*, jednak zbroju brzine, pijezometrije i niveliranja na visine, ostaje konstantan duž bilo koje strujnice (ili vrtložne linije).

Zanemarujući gravitaciju, Bernoullijev teorem može se dati u jednostavnijem obliku:

(2.86)

Prvi izraz na lijevoj strani naziva se pijezometrijski tlak ili statički tlak, drugi se naziva tlak brzine ili dinamički tlak. Desna strana predstavlja ukupnu visinu ili stagnacijski tlak.

Razmotrimo sada adijabatsko strujanje vode u okviru bestežinskog idealnog fluida. U skladu s Tateovom jednadžbom imat ćemo

Međutim, Bernoullijev teorem za stlačivu vodu izgledat će ovako:

(2.87)

Pretpostavimo da tekućina dobiva parametre u točki u kojoj brzina postaje nula. Ako u stvarnosti ne postoji takva točka, tada se može zamisliti imaginarno kretanje idealnog stlačivog fluida, adijabatski ga usporavajući. Veličine se u ovom slučaju nazivaju tlakom i gustoćom stagnacije. Pod ovom pretpostavkom, jednadžba (2.87) ima oblik

(2.88)