Kā noteikt, vai funkcija ir pāra vai nepāra. Funkciju paritāte

Funkciju sauc par pāra (nepāra), ja jebkurai un vienādībai

.

Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret asi
.

Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

Piemērs 6.2. Pārbaudiet pāra vai nepāra funkcijas

1)
; 2)
; 3)
.

Risinājums.

1) Funkcija ir definēta ar
. Atradīsim
.

Tie.
. Tātad šī funkcija ir vienmērīga.

2) Funkcija ir definēta priekš

Tie.
. Tādējādi šī funkcija ir nepāra.

3) funkcija ir definēta priekš , t.i. Priekš

,
. Tāpēc funkcija nav ne pāra, ne nepāra. Sauksim to par vispārīgu funkciju.

3. Funkcijas monotonitātei izpēte.

Funkcija
tiek saukta par palielināšanos (samazināšanos) kādā intervālā, ja šajā intervālā katra lielākā argumenta vērtība atbilst lielākai (mazākai) funkcijas vērtībai.

Funkcijas, kas palielinās (samazinās) kādā intervālā, sauc par monotoniskām.

Ja funkcija
diferencējams pēc intervāla
un tam ir pozitīvs (negatīvs) atvasinājums
, tad funkcija
palielinās (samazinās) šajā intervālā.

Piemērs 6.3. Atrast funkciju monotonitātes intervālus

1)
; 3)
.

Risinājums.

1) Šī funkcija ir definēta uz visas skaitļu ass. Atradīsim atvasinājumu.

Atvasinājums ir nulle, ja
Un
. Definīcijas joma - skaitliskā ass, dalīta ar punktiem
,
intervāliem. Noteiksim atvasinājuma zīmi katrā intervālā.

Intervālā
atvasinājums ir negatīvs, funkcija samazinās šajā intervālā.

Intervālā
atvasinājums ir pozitīvs, tāpēc funkcija šajā intervālā palielinās.

2) Šī funkcija ir definēta, ja
vai

.

Mēs nosakām kvadrātveida trinoma zīmi katrā intervālā.

Tādējādi funkcijas apjoms

Atradīsim atvasinājumu
,
, Ja
, t.i.
, Bet
. Noteiksim atvasinājuma zīmi intervālos
.

Intervālā
atvasinājums ir negatīvs, tāpēc funkcija intervālā samazinās
. Intervālā
atvasinājums ir pozitīvs, funkcija palielinās intervālā
.

4. Ekstrēma funkcijas izpēte.

Punkts
sauc par funkcijas maksimālo (minimālo) punktu
, ja ir tāda punkta apkārtne ka visiem
šī apkārtne apmierina nevienlīdzību

.

Funkcijas maksimālo un minimālo punktu sauc par ekstrēma punktiem.

Ja funkcija
punktā ir ekstrēma, tad funkcijas atvasinājums šajā punktā ir vienāds ar nulli vai neeksistē (nepieciešams nosacījums ekstrēmuma pastāvēšanai).

Punktus, kuros atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē, sauc par kritiskiem.

5. Pietiekami nosacījumi ekstrēma pastāvēšanai.

1. noteikums. Ja pārejas laikā (no kreisās uz labo) caur kritisko punktu atvasinājums
maina zīmi no "+" uz "-", pēc tam punktā funkciju
ir maksimums; ja no "-" līdz "+", tad minimums; Ja
nemaina zīmi, tad nav ekstrēma.

2. noteikums. Ļaujiet pie punkta
pirmais funkcijas atvasinājums
nulle
, un otrais atvasinājums pastāv un nav nulle. Ja
, Tas ir maksimālais punkts, ja
, Tas ir funkcijas minimālais punkts.

Piemērs 6.4 . Izpētiet maksimālās un minimālās funkcijas:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Risinājums.

1) Funkcija ir noteikta un nepārtraukta intervālā
.

Atradīsim atvasinājumu
un atrisiniet vienādojumu
, t.i.
.no šejienes
ir kritiskie punkti.

Noteiksim atvasinājuma zīmi intervālos ,
.

Izejot cauri punktiem
Un
atvasinājums maina zīmi no “–” uz “+”, tāpēc saskaņā ar 1. noteikumu
ir minimālie punkti.

Izejot caur punktu
atvasinājums maina zīmi no "+" uz "-", tātad
ir maksimālais punkts.

,
.

2) Funkcija ir definēta un nepārtraukta intervālā
. Atradīsim atvasinājumu
.

Atrisinot vienādojumu
, atrast
Un
ir kritiskie punkti. Ja saucējs
, t.i.
, tad atvasinājums neeksistē. Tātad,
ir trešais kritiskais punkts. Noteiksim atvasinājuma zīmi intervālos.

Tāpēc funkcijai punktā ir minimums
, maksimums punktos
Un
.

3) Funkcija ir definēta un nepārtraukta, ja
, t.i. plkst
.

Atradīsim atvasinājumu

.

Atradīsim kritiskos punktus:

Punktu apkaimes
neietilpst definīcijas jomā, tāpēc tie nav ekstrēmi t. Tātad, izpētīsim kritiskos punktus
Un
.

4) Funkcija ir noteikta un nepārtraukta intervālā
. Mēs izmantojam noteikumu 2. Atrodiet atvasinājumu
.

Atradīsim kritiskos punktus:

Atradīsim otro atvasinājumu
un noteikt tās zīmi punktos

Punktos
funkcijai ir minimums.

Punktos
funkcijai ir maksimums.

Vienmērīga funkcija.

Pat Tiek izsaukta funkcija, kuras zīme nemainās, mainot zīmi x.

x vienlīdzība f(–x) = f(x). Pierakstīties x zīmi neietekmē y.

Grafiks vienmērīga funkcija simetriski pret koordinātu asi (1. att.).

Pat funkciju piemēri:

y= cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Paskaidrojums:
Ņemsim funkciju y = x 2 vai y = –x 2 .
Par jebkuru vērtību x funkcija ir pozitīva. Pierakstīties x zīmi neietekmē y. Grafiks ir simetrisks pret koordinātu asi. Šī ir vienmērīga funkcija.

nepāra funkcija.

nepāra ir funkcija, kuras zīme mainās, mainot zīmi x.

Citiem vārdiem sakot, par jebkuru vērtību x vienlīdzība f(–x) = –f(x).

Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi (2. att.).

Nepāra funkcijas piemēri:

y= grēks x

y = x 3

y = –x 3

Paskaidrojums:

Veikt funkciju y = - x 3 .
Visas vērtības plkst tam būs mīnusa zīme. Tā ir zīme x ietekmē zīmi y. Ja neatkarīgais mainīgais ir pozitīvs skaitlis, tad funkcija ir pozitīva, ja neatkarīgais mainīgais ir negatīvs skaitlis, tad funkcija ir negatīva: f(–x) = –f(x).
Funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi. Šī ir nepāra funkcija.

Pāra un nepāra funkciju īpašības:

PIEZĪME:

Ne visas funkcijas ir pāra vai nepāra. Ir funkcijas, kas nav pakļautas šādai gradācijai. Piemēram, saknes funkcija plkst = √X neattiecas ne uz pāra, ne nepāra funkcijām (3. att.). Uzskaitot šādu funkciju īpašības, jāsniedz atbilstošs apraksts: ne pāra, ne nepāra.

Periodiskas funkcijas.

Kā zināms, periodiskums ir noteiktu procesu atkārtošanās noteiktā intervālā. Funkcijas, kas apraksta šos procesus, sauc periodiskas funkcijas. Tas ir, tās ir funkcijas, kuru grafikos ir elementi, kas atkārtojas noteiktos skaitļos.

Atpakaļ uz priekšu

Uzmanību! Slaida priekšskatījums ir paredzēts tikai informatīviem nolūkiem, un tas var neatspoguļot visu prezentācijas apjomu. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Mērķi:

• veidot pāra un nepāra funkciju jēdzienu, iemācīt spēju noteikt un izmantot šīs īpašības funkciju izpētē, zīmēšanā;
• attīstīt studentu radošo darbību, loģiskā domāšana, spēja salīdzināt, vispārināt;
• izkopt centību, matemātisko kultūru; attīstīt komunikācijas prasmes .

Aprīkojums: multivides uzstādīšana, interaktīvā tāfele, Izdales materiāls.

Darba formas: frontālā un grupa ar meklēšanas un izpētes aktivitāšu elementiem.

Informācijas avoti:

1. Algebras klase 9 A.G.Mordkovičs. Mācību grāmata.
2. Algebra 9. klase A.G.Mordkovičs. Uzdevumu grāmata.
3. Algebras 9. klase. Uzdevumi skolēnu mācībām un attīstībai. Belenkova E.Ju. Lebedintseva E.A.

NODARBĪBU LAIKĀ

1. Organizatoriskais moments

Nodarbības mērķu un uzdevumu noteikšana.

2. Mājas darbu pārbaude

Nr.10.17 (Uzdevumu grāmata 9. klase A.G. Mordkovičs).

A) plkst = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 par X ~ 0,4
4. f(X) >0 plkst X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcija palielinās ar X € [– 2; + ∞)
6. Funkcija ir ierobežota no apakšas.
7. plkst noma = - 3, plkst naibs neeksistē
8. Funkcija ir nepārtraukta.

(Vai izmantojāt funkciju izpētes algoritmu?) Slidkalniņš.

2. Pārbaudīsim tabulu, kas jums tika uzdota slaidā.

Aizpildiet tabulu
	Domēns	Funkcijas nulles	Noturības intervāli		Grafa krustošanās punktu koordinātas ar Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Zināšanu atjaunināšana

– Funkcijas ir dotas.
– Norādiet katras funkcijas definīcijas domēnu.
– Salīdziniet katras funkcijas vērtību katram argumentu vērtību pārim: 1 un – 1; 2 un - 2.
– Kurām no dotajām funkcijām definīcijas jomā ir vienādības f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (ievietot datus tabulā) Slidkalniņš

		f(1) un f(– 1)	f(2) un f(– 2)	diagrammas	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		un nav definēts.

4. jauns materiāls

– Uzstāšanās Šis darbs, puiši, mēs esam atklājuši vēl vienu funkcijas īpašību, kas jums nav pazīstama, bet ne mazāk svarīga par pārējām - šī ir pāra un nepāra funkcija. Pierakstiet nodarbības tēmu: “Pāra un nepāra funkcijas”, mūsu uzdevums ir iemācīties noteikt pāra un nepāra funkcijas, noskaidrot šīs īpašības nozīmi funkciju izpētē un zīmēšanā.
Tātad, atrodam definīcijas mācību grāmatā un lasīsim (110. lpp.) . Slidkalniņš

Def. 1 Funkcija plkst = f (X), kas definēts kopā X, tiek izsaukts pat, ja par kādu vērtību X Notiek Є X vienādība f (–x) = f (x). Sniedziet piemērus.

Def. 2 Funkcija y = f(x), kas definēts kopā X, tiek izsaukts nepāra, ja par kādu vērtību XЄ X vienādība f(–х)= –f(х) ir izpildīta. Sniedziet piemērus.

Kur mēs satikām terminus "pāra" un "nepāra"?
Kā jūs domājat, kura no šīm funkcijām būs vienmērīga? Kāpēc? Kuras ir dīvainas? Kāpēc?
Jebkurai formas funkcijai plkst= x n, Kur n ir vesels skaitlis, var apgalvot, ka funkcija ir nepāra n ir nepāra un funkcija ir pāra n- pat.
- Skatīt funkcijas plkst= un plkst = 2X– 3 nav ne pāra, ne nepāra, jo vienlīdzības netiek ievērotas f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Jautājuma par to, vai funkcija ir pāra vai nepāra, izpēti sauc par paritātes funkcijas izpēti. Slidkalniņš

Definīcijas 1 un 2 aplūkoja funkcijas vērtības pie x un - x, tāpēc tiek pieņemts, ka funkcija ir definēta arī pie vērtības X, un plkst - X.

ODA 3. Ja skaitļu kopa kopā ar katru tās elementu x satur pretējo elementu x, tad kopa X sauc par simetrisko kopu.

Piemēri:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) ir simetriskas kopas, un , [–5;4] ir nesimetriskas.

- Vai pat funkcijām ir definīcijas domēns - simetriska kopa? Savādi?
- ja D( f) ir asimetriska kopa, tad kāda ir funkcija?
– Tādējādi, ja funkcija plkst = f(X) ir pāra vai nepāra, tad tā definīcijas domēns ir D( f) ir simetriska kopa. Bet vai ir taisnība otrādi, ja funkcijas domēns ir simetriska kopa, tad tā ir pāra vai nepāra?
- Tātad definīcijas domēna simetriskas kopas klātbūtne ir nepieciešams, bet ne pietiekams nosacījums.
– Tātad, kā mēs varam izpētīt paritātes funkciju? Mēģināsim uzrakstīt algoritmu.

Slidkalniņš

Algoritms funkcijas paritātes pārbaudei

1. Nosakiet, vai funkcijas apgabals ir simetrisks. Ja nē, tad funkcija nav ne pāra, ne nepāra. Ja jā, pārejiet uz algoritma 2. darbību.

2. Uzrakstiet izteiksmi priekš f(–X).

3. Salīdziniet f(–X).Un f(X):

• Ja f(–X).= f(X), tad funkcija ir pāra;
• Ja f(–X).= – f(X), tad funkcija ir nepāra;
• Ja f(–X) ≠ f(X) Un f(–X) ≠ –f(X), tad funkcija nav ne pāra, ne nepāra.

Piemēri:

Izpētiet paritātes funkciju a) plkst= x 5 +; b) plkst= ; V) plkst= .

Risinājums.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetriskā kopa.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcija h(x)= x 5 + nepāra.

b) y =,

plkst = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetriska kopa, tāpēc funkcija nav ne pāra, ne nepāra.

V) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. iespēja

1. Vai dotā kopa ir simetriska: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Pārbaudiet paritātes funkciju:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Zīm. uzzīmēts plkst = f(X), visiem X, apmierinot nosacījumu X? 0.
Uzzīmējiet funkciju plkst = f(X), Ja plkst = f(X) ir vienmērīga funkcija.

3. Zīm. uzzīmēts plkst = f(X), visiem x atbilst x? 0.
Uzzīmējiet funkciju plkst = f(X), Ja plkst = f(X) ir nepāra funkcija.

Savstarpēja pārbaude slidkalniņš.

6. Mājas darbs: №11.11, 11.21,11.22;

Paritātes īpašuma ģeometriskās nozīmes pierādījums.

*** (Izmantošanas opcijas piešķiršana).

1. Nepāra funkcija y \u003d f (x) ir definēta visā reālajā rindā. Jebkurai mainīgā x vērtībai, kas nav negatīva, šīs funkcijas vērtība sakrīt ar funkcijas g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Atrodiet funkcijas h( X) = plkst X = 3.

7. Rezumējot

Funkciju izpēte.

1) D(y) — definīcijas apgabals: visu šo mainīgā x vērtību kopa. saskaņā ar kuru algebriskajām izteiksmēm f(x) un g(x) ir jēga.

Ja funkcija ir dota ar formulu, tad definīcijas domēns sastāv no visām neatkarīgā mainīgā vērtībām, kurām formulai ir jēga.

2) Funkciju īpašības: pāra/nepāra, periodiskums:

nepāra Un pat sauc par funkcijām, kuru grafiki ir simetriski attiecībā pret argumenta zīmes izmaiņām.

nepāra funkcija- funkcija, kas maina vērtību uz pretējo, mainoties neatkarīgā mainīgā zīmei (simetriski attiecībā pret koordinātu centru).

Vienmērīga funkcija- funkcija, kas nemaina savu vērtību, mainoties neatkarīgā mainīgā zīmei (simetriski pret y asi).

Ne pāra, ne nepāra funkcija (funkcija vispārējs skats) ir funkcija, kurai nav simetrijas. Šajā kategorijā ietilpst funkcijas, kas neietilpst iepriekšējās 2 kategorijās.

Tiek izsauktas funkcijas, kas nepieder nevienai no iepriekš minētajām kategorijām ne pāra, ne nepāra(vai vispārīgas funkcijas).

Nepāra funkcijas

Nepāra pakāpe kur ir patvaļīgs vesels skaitlis.

Pat funkcijas

Vienmērīga pakāpe, kur ir patvaļīgs vesels skaitlis.

Periodiska funkcija ir funkcija, kas atkārto savas vērtības ar kādu regulāru argumenta intervālu, t.i., nemaina tās vērtību, ja argumentam tiek pievienots fiksēts skaitlis, kas nav nulles ( periodā funkcijas) visā definīcijas jomā.

3) Funkcijas nulles (saknes) ir punkti, kur tā pazūd.

Grafika krustošanās punkta atrašana ar asi Oy. Lai to izdarītu, jums jāaprēķina vērtība f(0). Atrodiet arī grafa krustpunktus ar asi Vērsis, kāpēc atrast vienādojuma saknes f(x) = 0 (vai pārliecinieties, ka nav sakņu).

Tiek saukti punkti, kur grafiks krustojas ar asi funkcijas nulles. Lai atrastu funkcijas nulles, jums jāatrisina vienādojums, tas ir, jāatrod šīs x vērtības, kurai funkcija pazūd.

4) Zīmju noturības intervāli, zīmes tajās.

Intervāli, kuros funkcija f(x) saglabā savu zīmi.

Noturības intervāls ir intervāls katrā punktā, kurā funkcija ir pozitīva vai negatīva.

VIRS x ass.

Zem ass.

5) Nepārtrauktība (pārtraukuma punkti, nekontinuitātes raksturs, asimptoti).

nepārtraukta funkcija- funkcija bez "lēcieniem", tas ir, tāda, kurā nelielas izmaiņas argumentā izraisa nelielas izmaiņas funkcijas vērtībā.

Noņemami pārtraukuma punkti

Ja funkcijas robeža pastāv, bet funkcija šajā brīdī nav definēta vai ierobežojums neatbilst funkcijas vērtībai šajā brīdī:

,

tad punkts tiek saukts pārtraukuma punkts funkcijas (sarežģītā analīzē noņemams vienskaitļa punkts).

Ja mēs "izlabojam" funkciju noņemamā pārtraukuma punktā un ievietojam , tad mēs iegūstam funkciju, kas šajā brīdī ir nepārtraukta. Tādu darbību ar funkciju sauc funkcijas paplašināšana uz nepārtrauktu vai funkcijas paplašināšana pēc nepārtrauktības, kas pamato punkta nosaukumu, kā punkti vienreizējās lietošanas plaisa.

Pirmā un otrā veida pārtraukuma punkti

Ja funkcijai noteiktā punktā ir pārtraukums (tas ir, funkcijas robežas noteiktā punktā nav vai tā nesakrīt ar funkcijas vērtību noteiktā punktā), tad skaitliskām funkcijām ir divas iespējamās iespējas. kas saistīti ar skaitlisko funkciju esamību vienpusēji ierobežojumi:

ja abas vienpusējās robežas pastāv un ir galīgas, tad šādu punktu sauc pirmā veida lūzuma punkts. Noņemami pārtraukuma punkti ir pirmā veida pārtraukumu punkti;

ja kaut viena no vienpusējām robežām neeksistē vai nav galīga vērtība, tad šādu punktu sauc otrā veida lūzuma punkts.

Asimptote - taisni, kam ir īpašība, ka attālums no līknes punkta līdz šim taisni tiecas uz nulli, punktam virzoties pa zaru līdz bezgalībai.

vertikāli

Vertikālā asimptote - robežlīnija .

Parasti, nosakot vertikālo asimptotu, viņi meklē nevis vienu robežu, bet gan divus vienpusējus (kreiso un labo). Tas tiek darīts, lai noteiktu, kā funkcija darbojas, tuvojoties vertikālajai asimptotei no dažādiem virzieniem. Piemēram:

Horizontāli

Horizontālā asimptote - taisni sugas, atkarībā no esamības ierobežojums

.

slīpi

Slīpa asimptote - taisni sugas, atkarībā no esamības robežas

Piezīme: funkcijai var būt ne vairāk kā divas slīpas (horizontālas) asimptotes.

Piezīme: ja vismaz viena no divām iepriekš minētajām robežām nepastāv (vai ir vienāda ar ), tad slīpā asimptote pie (vai ) neeksistē.

ja 2. punktā), tad , un robežu nosaka ar horizontālās asimptotes formulu, .

6) Monotoniskuma intervālu atrašana. Atrodiet funkcijas monotonitātes intervālus f(x) (tas ir, pieauguma un samazinājuma intervāli). To dara, pārbaudot atvasinājuma zīmi f(x). Lai to izdarītu, atrodiet atvasinājumu f(x) un atrisināt nevienlīdzību f(x)0. Intervālos, kuros šī nevienlīdzība ir izpildīta, funkcija f(x) palielinās. Kur pastāv apgrieztā nevienlīdzība f(x)0, funkcija f(x) samazinās.

Vietējā ekstrēma atrašana. Atrodot monotoniskuma intervālus, uzreiz varam noteikt lokālā galējības punktus, kur pieaugumu aizstāj ar samazināšanos, ir lokālie maksimumi, un kur samazinājumu aizstāj ar pieaugumu, lokālie minimumi. Aprēķiniet funkcijas vērtību šajos punktos. Ja funkcijai ir kritiskie punkti, kas nav lokāli ekstrēmi punkti, tad ir lietderīgi arī šajos punktos aprēķināt funkcijas vērtību.

Funkcijas y = f(x) lielāko un mazāko vērtību atrašana segmentā(turpinājums)

1. Atrodiet funkcijas atvasinājumu: f(x). 2. Atrodiet punktus, kur atvasinājums ir nulle: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Nosakiet punktu īpašumtiesības X 1 ,X 2 , … segments [ a; b]: ļauj x 1a;b, A x 2a;b . 4. Atrodiet funkciju vērtības atlasītajos punktos un segmenta galos: f(x 1), f(x 2),..., f(x a),f(x b), 5. Funkcijas lielāko un mazāko vērtību atlase no atrastajām. komentēt. Ja segmentā [ a; b] ir pārtraukuma punkti, tad tajos ir jāaprēķina vienpusējās robežas un pēc tam jāņem vērā to vērtības, izvēloties funkcijas lielāko un mazāko vērtību.

7) Izliekuma un ieliekuma intervālu atrašana. To dara, pārbaudot otrā atvasinājuma zīmi f(x). Atrodiet lieces punktus izliektā un ieliekuma intervālu krustpunktos. Aprēķiniet funkcijas vērtību lēciena punktos. Ja funkcijai ir citi nepārtrauktības punkti (izņemot lēciena punktus), kuros otrais atvasinājums ir vienāds ar 0 vai neeksistē, tad šajos punktos ir lietderīgi arī aprēķināt funkcijas vērtību. Meklēšana f(x), mēs atrisinām nevienlīdzību f(x)0. Katrā risinājuma intervālā funkcija būs uz leju izliekta. Apgrieztās nevienlīdzības atrisināšana f(x)0, mēs atrodam intervālus, kuros funkcija ir izliekta uz augšu (tas ir, ieliekta). Mēs definējam lēciena punktus kā punktus, kuros funkcija maina izliekuma virzienu (un ir nepārtraukta).

Funkcijas lēciena punkts- tas ir punkts, kurā funkcija ir nepārtraukta un, ejot cauri, funkcija maina izliekuma virzienu.

Eksistences nosacījumi

Nepieciešamais nosacījums lēciena punkta pastāvēšanai: ja funkcija ir divreiz diferencējama kādā punkta caurdurtajā apkārtnē, tad vai nu .

Funkcija ir viens no svarīgākajiem matemātiskajiem jēdzieniem. Funkcija – mainīgā atkarība plkst no mainīgā lieluma x, ja katra vērtība X atbilst vienai vērtībai plkst. mainīgs X sauc par neatkarīgo mainīgo vai argumentu. mainīgs plkst sauc par atkarīgo mainīgo. Visas neatkarīgā mainīgā vērtības (mainīgais x) veido funkcijas domēnu. Visas vērtības, ko iegūst atkarīgais mainīgais (mainīgais y), veido funkcijas diapazonu.

Funkciju grafiks viņi sauc visu koordinātu plaknes punktu kopu, kuras abscises ir vienādas ar argumenta vērtībām, un ordinātas ir vienādas ar atbilstošajām funkcijas vērtībām, tas ir, mainīgais ir attēlots pa abscisu asi x, un mainīgā vērtības tiek attēlotas gar y asi y. Lai attēlotu funkciju, jums jāzina funkcijas īpašības. Funkcijas galvenās īpašības tiks apspriestas tālāk!

Lai attēlotu funkciju grafiku, mēs iesakām izmantot mūsu programmu - Graphing Functions Online. Ja jums ir kādi jautājumi, pētot materiālu šajā lapā, vienmēr varat tos uzdot mūsu forumā. Tāpat forumā jums palīdzēs atrisināt uzdevumus matemātikā, ķīmijā, ģeometrijā, varbūtību teorijā un daudzos citos priekšmetos!

Funkciju pamatīpašības.

1) Funkciju apjoms un funkciju diapazons.

Funkcijas apjoms ir visu derīgo argumenta vērtību kopa x(mainīgs x), kurai funkcija y = f(x) definēts.
Funkcijas diapazons ir visu reālo vērtību kopa y ka funkcija pieņem.

Elementārajā matemātikā funkcijas tiek pētītas tikai uz reālo skaitļu kopas.

2) Funkcijas nulles.

Vērtības X, kurā y=0, tiek saukts funkciju nulles. Tās ir funkcijas grafika krustošanās punktu abscises ar x asi.

3) Funkcijas zīmes noturības intervāli.

Funkcijas zīmes noturības intervāli ir šādi vērtību intervāli x, uz kura norādītas funkcijas vērtības y tiek saukti tikai pozitīvi vai tikai negatīvi funkcijas zīmes noturības intervāli.

4) Funkcijas monotonitāte.

Palielinoša funkcija (noteiktā intervālā) ir funkcija, kurā lielāka argumenta vērtība no šī intervāla atbilst lielākai funkcijas vērtībai.

Samazinoša funkcija (kādā intervālā) - funkcija, kurā lielāka argumenta vērtība no šī intervāla atbilst mazākai funkcijas vērtībai.

5) Pāra (nepāra) funkcijas.

Pāra funkcija ir funkcija, kuras definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi un jebkurai X f(-x) = f(x). Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret y asi.

Nepāra funkcija ir funkcija, kuras definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi un jebkuru X no definīcijas jomas vienlīdzība f(-x) = - f(x). Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

Vienmērīga funkcija
1) Definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret punktu (0; 0), tas ir, ja punkts a pieder definīcijas jomai, tad punktam -a arī pieder definīcijas jomai.
2) par jebkuru vērtību x f(-x)=f(x)
3) Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret Oy asi.

nepāra funkcija ir šādas īpašības:
1) Definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret punktu (0; 0).
2) jebkurai vērtībai x, kas pieder definīcijas jomai, vienlīdzībai f(-x)=-f(x)
3) Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi (0; 0).

Ne katra funkcija ir pāra vai nepāra. Funkcijas vispārējs skats nav ne pāra, ne nepāra.

6) Ierobežotas un neierobežotas funkcijas.

Funkciju sauc par ierobežotu, ja pastāv tāds pozitīvs skaitlis M, ka |f(x)| ≤ M visām x vērtībām. Ja šāda skaitļa nav, tad funkcija ir neierobežota.

7) Funkcijas periodiskums.

Funkcija f(x) ir periodiska, ja eksistē skaitlis T, kas atšķiras no nulles, tā ka jebkuram x no funkcijas domēna f(x+T) = f(x). Tādas mazākais skaitlis sauc par funkcijas periodu. Visas trigonometriskās funkcijas ir periodiskas. (Trigonometriskās formulas).

Funkcija f tiek saukts par periodisku, ja pastāv tāds skaitlis, ka jebkuram x no definīcijas jomas vienlīdzība f(x)=f(x-T)=f(x+T). T ir funkcijas periods.

Katrai periodiskai funkcijai ir bezgalīgs periodu skaits. Praksē parasti tiek ņemts vērā mazākais pozitīvais periods.

Periodiskās funkcijas vērtības tiek atkārtotas pēc intervāla, kas vienāds ar periodu. To izmanto, veidojot grafikus.