Моменты инерции сечения балки. Центробежный момент инерции Осевой момент инерции круглого сечения
Моменты инерции сечения балки (бруса, стержня) относятся, как и площадь сечения, к одним из основных геометрических характеристик элемента, участвующих в расчетах на прочность. Напомню, что балкой в сопромате называется элемент, у которого один из размеров — длина...
Существенно больше двух других – ширины и высоты. Именно два последних габаритных размера плюс форма и влияют наряду со свойствами материала на прочностные характеристики балки.
Геометрические моменты инерции сечения нельзя путать с моментами инерции тел, хотя их смысл весьма схож. Момент инерции тела вокруг некоторой оси – это сумма произведений масс элементарных «объемных» точек тела на квадраты расстояний от оси до этих точек. Момент инерции сечения (плоской фигуры) — это сумма произведений площадей элементарных «плоских» точек этого сечения на квадраты расстояний от них до рассматриваемой оси.
Формулы для вычисления осевых моментов инерции, а также радиусов инерции и моментов сопротивления почти тридцати элементарных фигур, из которых можно составить любое сечение бруса, можно взять в разделе «Элементы сопротивления материалов» главы №1 «Общетехнические сведения» тома №1 «Справочника конструктора-машиностроителя» В.И. Анурьева. Этот трехтомный справочник, являющийся главной настольной книгой нескольких поколений инженеров-механиков и претерпевший около десяти переизданий, и сегодня продолжает являться востребованным и актуальным. Я думаю, он должен обязательно быть у каждого инженера, тем более что найти его в Сети – не проблема. Конечно, интересующие нас формулы можно найти и в другой справочной литературе.
Для двутавров, швеллеров, уголков, труб и прочих прокатных и гнутых профилей, широко применяемых в машиностроении и строительстве, геометрические характеристики сечений, включая моменты инерции, можно найти в таблицах ГОСТов, ОСТов и прочих нормативных документов, которые регламентируют их изготовление.
Балки и стержни, составленные из двух или более элементарных профилей, применяют для повышения прочности и жесткости элементов при отсутствии адекватной с точки зрения массы и габаритов замены одиночным профилем. На практике – это спаренные уголки, двухветвевые колонны, балки с усиленным листовой полосой поясом и другие случаи.
Геометрические характеристики составного сечения. Расчет в Excel.
В статье мы рассматривали в качестве примера составную фигуру, состоящую из треугольника и прямоугольника с вырезом в виде полукруга. Продолжим работу с этим примером. Хотя балку, имеющую столь причудливое сечение, на практике нигде и никогда, наверное, не встретишь, для не очень сложного и наглядного примера она нам подойдет!
Запускаем программу MS Excel или программу OOo Calc, и начинаем работу!
С общими правилами форматирования электронных таблиц, применяемыми в статьях блога, можно ознакомиться .
Из вышеупомянутой статьи мы уже знаем координаты центров тяжести, площади элементов сечения и площадь всего составного сечения. В этой статье продолжим начатую работу, и выполним расчет других геометрических характеристик.
Исходные данные:
Пункты 1 , 2 , 3 копируем из файла и заполняем диапазон ячеек D3:F6.
4. Рассчитаем осевые и центробежные моменты инерции элементов относительно собственных центральных осей Ixi , Iyi , Ixiyi в см4, воспользовавшись формулами из «Справочника конструктора-машиностроителя» В.И. Анурьева
в ячейке D7: =80*40^3/12/10000 =42,667
Ix 1 = a 1 *(b 1 ^3)/12
в ячейке D8: =40*80^3/12/10000 =170,667
Iy1 = b1 *(a1 ^3)/12
в ячейке D9: =0 =0,000
Ix 1 y 1 = 0 (элемент с осевой симметрией)
в ячейке E7: =24*42^3/36/10000 =4,939
Ix 2 = a 2 *(h 2 ^3)/36
в ячейке E8: =42*24^3/48/10000 =1,210
Iy 2 = h 2 *(a 2 ^3)/48
в ячейке E9: =0 =0,000
Ix 2 y 2 = 0 (элемент с осевой симметрией)
в ячейке F7: =- (ПИ()/8*26^4-8/9/ПИ()*26^4)/10000 =-5,016
Ix 3 =- (π /8)*(r 3 ^4) — (8/(9* π ))*(r 3 ^4)
в ячейке F8: =-ПИ()/8*26^4/10000 =-17,945
Iy 3 =- (π /8)*(r 3 ^4)
в ячейке F9: =0 =0,000
Ix 3 y 3 = 0 (элемент с осевой симметрией)
Осевые моменты инерции третьего элемента – полукруга – отрицательны потому, что это вырез в прямоугольнике – пустое место!
Расчет геометрических характеристик:
Пункты 5 , 6 , 7 копируем из файла и заполняем объединенные ячейки D11E11F11…D15E15F15.
8. Рассчитаем осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей x0 и y0, проведенных через центр тяжести Ix 0 , Iy 0 , Ix 0 y 0 в см4
в объединенной ячейке D16E16F16: =((D5-D15)^2*D6+(E5-D15)^2*E6+(F5-D15)^2*F6)/10000+D7+E7+F7 =90,122
Ix 0 = Σ ((yci — Yc )^2* Fi )+ ΣIxi
в объединенной ячейке D17E17F17: =((D4-D14)^2*D6+(E4-D14)^2*E6+(F4-D14)^2*F6)/10000+D8+E8+F8 =159,678
Iy 0 = Σ ((xci — Xc )^2* Fi )+ ΣIyi
в объединенной ячейке D18E18F18: =((D5-D15)*(D4-D14)*D6+(E5-D15)*(E4-D14)*E6+(F5-D15)*(F4-D14)*F6)/10000+D9+E9+F9 =-50,372
Ix0y0 = Σ ((yci -Yc )*(xci -Xc )*Fi )+ Σ Ixiyi
9. Вычислим главные центральные моменты инерции сечения Iv и Iu в cм4
в объединенной ячейке D19E19F19: =($D$16+$D$17)/2+((($D$16-$D$17)/2)^2+$D$18^2)^0,5 =186,111
Iv =(Ix0 +Iy0 )/2+(((Ix0 -Iy0 )/2)^2+Ix0y0 ^2)^0,5
в объединенной ячейке D20E20F20: =($D$16+$D$17)/2- ((($D$16-$D$17)/2)^2+$D$18^2)^0,5 =63,689
Iu =(Ix0 +Iy0 )/2- (((Ix0 -Iy0 )/2)^2+Ix0y0 ^2)^0,5
10. Найдем угол наклона главной оси v к центральной оси x0 α в градусах
в объединенной ячейке D21E21F21: =ATAN (D18/(D20-D16))/ПИ()*180 =62,311
α =arctg (Ix0y0 /(Iu -Ix0 ))
11. И в заключении вычислим радиусы инерции составного сечения iv и iu в мм
в объединенной ячейке D22E22F22: =(D19*10000/D11)^0,5 =26,540
iv =(Iv / F 0 )^0,5
в объединенной ячейке D23E23F23: =(D20*10000/D11)^0,5 =15,526
iu =(Iu / F 0 )^0,5
Задача выполнена – вычислены моменты инерции и радиусы инерции составного сечения из трех простых элементов! Получены все необходимые данные для построения эллипса инерции.
Файл Excel с расчетной программой позволяет легко выполнить полный расчет геометрических характеристик поперечного сечения балки, состоящего из двух или трех простых элементов. При необходимости несложно расширить возможности расчетного модуля до большего количества элементов.
Для получения информации о новых статьях и для скачивания рабочих файлов программ прошу Вас подписаться на анонсы в окне, расположенном в конце каждой статьи или в окне вверху страницы.
Не забывайте подтвердить подписку кликом по ссылке в письме, которое тут же придет к вам на указанную почту (может прийти в папку « Спам» )!!!
С интересом прочту ваши комментарии, уважаемые читатели!!! Поделитесь своими мыслями!
Прошу уважающих труд автора скачивать файл с программой расчета после подписки на анонсы статей!
1.Осевые моменты инерции относительно взаимно перпендикулярных осей x0y (совпадающих со сторонами треугольника) (рис.2.17).
Для определения момента инерции относительно оси х выделим элементарную площадку в виде полоски бесконечно малой ширины dу , параллельной оси х , на расстоянии у от нее. Площадь площадки
. Длину полоски b(y)
определим из подобия треугольников с основаниями b(y)
и b
,
откуда 
. Тогда 
. Подставляя это
соотношение в выражение для I x (2.21) и устанавливая пределы интегрирования «0-h », получим
.
Аналогично определяется I y .
2. Центробежный момент инерции относительно осей x0y (совпадающих со сторонами треугольника)
Центробежный момент инерции, согласно определению, равен
Используем ту же элементарную площадку, что и ранее (см. рис.2.17). В качестве координаты х примем координату центра тяжести элементарной площадки
.
Подставляем это выражение, а также формулу для dA под интеграл и интегрируем в пределах от 0 до h
Таким образом, формулы для моментов инерции сечения, в виде прямоугольного треугольника, относительно осей, совпадающих с катетами, имеют вид
Заметим, что для рассматриваемого сечения больший интерес представляют моменты инерции относительно центральных осей (ЦО), параллельных катетам треугольника.
3. Моменты инерции относительно взаимно перпендикулярных ЦО x с сy с (параллельных сторонам треугольника)
Формулы для моментов инерции прямоугольного треугольника относительно осей x с сy с (см. рис.2.17) легко получить, используя выражения (2.24), а также теорему о параллельном переносе осей, согласно которой:
осевые моменты инерции 
; 
;
центробежный момент инерции 
.
Здесь: а , е – координаты центра тяжести сечения в системе координат x0y
Подставляя эти выражения, а также соотношения (2.24) в приведенные выше формулы, получим
(2.25)
Отметим, что ориентация сечения относительно осей оказывает влияние на знак центробежного момента инерции. Для рассматриваемой ориентации оказалось, что <0. Действительно, на рис.2.17 видно, что большая часть сечения лежит в области с отрицательным произведением координат х ´у (вторая и четвертая координатные четверти). Это и обусловливает отрицательный знак полученного центробежного момента инерции. Ниже приведены схемы с различной ориентацией прямоугольного треугольника относительно ЦО, параллельных сторонам, для которых указан знак .
Базовый курс лекций по сопромату, теория, практика, задачи.
1. Геометрические характеристики сечений.1.3. Моменты инерции простых сечений.
1. Прямоугольник (рис. 1.5,а). Вычислим момент инерции сечения относительно оси Х0 , проходящей через центр тяжести параллельно основанию.
За dA примем площадь бесконечно тонкого слоя dA = bdy.
Тогда
Итак,
(1.11)
Аналогично, получим
(1.12)
2. Круг
(рис. 1.5,б). Сначала определим полярный момент инерции относительно центра круга
За dA принимаем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dp
тогда
Следовательно,
(1.13)
Теперь легко найдем Ixo
. Действительно, для круга согласно формуле (1.9.), имеем Iр
= 2Iхо
= 2Iуо
, откуда
(1.14)
2. Кольцо
(рис. 1.5,в). Осевой момент инерции в этом случае равен разности моментов инерции внешнего и внутреннего кругов
(1.15)
где c = d/D.
Аналогично полярный момент инерции
(1.16)
2. Треугольник
(рис. 1.5,г). Определим момент инерции относительно оси x1
, параллельной основанию и проходящей через вершину треугольника
За dA примем площадь бесконечно тонкой трапеции KBDE, площадь которой можно считать равной площади прямоугольника:
DA = by dy,
Где by - длина прямоугольника.
Результат расчетов зависит не только от площади сечения, поэтому при решении задач по сопромату не обойтись без определения геометрических характеристик фигур : статических, осевых, полярного и центробежного моментов инерции. Обязательно необходимо уметь определять положение центра тяжести сечения (от положения центра тяжести зависят перечисленные геометрические характеристики). К дополнению к геометрическим характеристикам простых фигур: прямоугольника, квадрата, равнобедренного и прямоугольного треугольников, круга, полукруга . Указаны центр тяжести и положение главных центральных осей, и определены относительно них геометрические характеристики при условии, что материал балки однородный.
Геометрические характеристики прямоугольника и квадрата
Осевые моменты инерции прямоугольника (квадрата)
Геометрические характеристики прямоугольного треугольника
Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника
Геометрические характеристики равнобедренного треугольника
Осевые моменты инерции равнобедренного треугольника
Рекомендуем также
Loading...