Como determinar se uma função é par ou ímpar. Paridade de função

Uma função é chamada par (ímpar) se for qualquer e a igualdade

.

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo
.

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

Exemplo 6.2. Examine as funções pares ou ímpares

1)
; 2)
; 3)
.

Solução.

1) A função é definida com
. Vamos encontrar
.

Aqueles.
. Portanto, esta função é par.

2) A função é definida para

Aqueles.
. Portanto, esta função é ímpar.

3) a função é definida para, ou seja, Para

,
. Portanto, a função não é par nem ímpar. Vamos chamá-la de função geral.

3. Investigação de uma função quanto à monotonicidade.

Função
é chamado de crescente (decrescente) em algum intervalo se neste intervalo cada valor maior do argumento corresponder a um valor maior (menor) da função.

Funções que aumentam (diminuem) em algum intervalo são chamadas de monotônicas.

Se a função
diferenciável no intervalo
e tem uma derivada positiva (negativa)
, então a função
aumenta (diminui) neste intervalo.

Exemplo 6.3. Encontre intervalos de monotonicidade de funções

1)
; 3)
.

Solução.

1) Esta função é definida em todo o eixo numérico. Vamos encontrar a derivada.

A derivada é zero se
E
. Domínio de definição – eixo numérico, dividido por pontos
,
para intervalos. Vamos determinar o sinal da derivada em cada intervalo.

No intervalo
a derivada é negativa, a função diminui neste intervalo.

No intervalo
a derivada é positiva, portanto, a função é crescente neste intervalo.

2) Esta função é definida se
ou

.

Determinamos o sinal do trinômio quadrado em cada intervalo.

Assim, o escopo da função

Vamos encontrar a derivada
,
, Se
, ou seja
, Mas
. Vamos determinar o sinal da derivada nos intervalos
.

No intervalo
a derivada é negativa, portanto, a função diminui no intervalo
. No intervalo
a derivada é positiva, a função aumenta no intervalo
.

4. Investigação de uma função para um extremo.

Ponto
é chamado de ponto máximo (mínimo) da função
, se existe tal vizinhança do ponto isso para todos
este bairro satisfaz a desigualdade

.

Os pontos máximo e mínimo de uma função são chamados de pontos extremos.

Se a função
no ponto tem um extremo, então a derivada da função neste ponto é igual a zero ou não existe (condição necessária para a existência de um extremo).

Os pontos em que a derivada é igual a zero ou não existe são chamados de críticos.

5. Condições suficientes para a existência de um extremo.

Regra 1. Se durante a transição (da esquerda para a direita) através do ponto crítico derivado
muda o sinal de "+" para "-", então no ponto função
tem um máximo; se de "-" a "+", então o mínimo; Se
não muda de sinal, então não há extremo.

Regra 2. Deixe no ponto
primeira derivada da função
zero
, e a segunda derivada existe e é diferente de zero. Se
, Que é o ponto máximo, se
, Que é o ponto mínimo da função.

Exemplo 6.4 . Explore as funções de máximo e mínimo:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Solução.

1) A função é definida e contínua no intervalo
.

Vamos encontrar a derivada
e resolva a equação
, ou seja
.daqui
são pontos críticos.

Vamos determinar o sinal da derivada nos intervalos,
.

Ao passar por pontos
E
a derivada muda de sinal de “–” para “+”, portanto, de acordo com a regra 1
são os pontos mínimos.

Ao passar por um ponto
a derivada muda o sinal de "+" para "-", então
é o ponto máximo.

,
.

2) A função é definida e contínua no intervalo
. Vamos encontrar a derivada
.

Resolvendo a equação
, encontrar
E
são pontos críticos. Se o denominador
, ou seja
, então a derivada não existe. Então,
é o terceiro ponto crítico. Vamos determinar o sinal da derivada em intervalos.

Portanto, a função tem um mínimo no ponto
, máximo em pontos
E
.

3) Uma função é definida e contínua se
, ou seja no
.

Vamos encontrar a derivada

.

Vamos encontrar os pontos críticos:

Bairros de pontos
não pertencem ao domínio de definição, portanto não são extremo t. Então, vamos explorar os pontos críticos
E
.

4) A função é definida e contínua no intervalo
. Usamos a regra 2. Encontre a derivada
.

Vamos encontrar os pontos críticos:

Vamos encontrar a segunda derivada
e determine seu sinal nos pontos

Em pontos
função tem um mínimo.

Em pontos
função tem um máximo.

Função par.

Até Uma função cujo sinal não muda quando o sinal é alterado é chamada x.

x igualdade f(–x) = f(x). Sinal x não afeta o sinal sim.

Agendar função par simétrico em relação ao eixo de coordenadas (Fig. 1).

Exemplos de funções pares:

sim= porque x

sim = x 2

sim = –x 2

sim = x 4

sim = x 6

sim = x 2 + x

Explicação:
Vamos pegar uma função sim = x 2 ou sim = –x 2 .
Para qualquer valor x a função é positiva. Sinal x não afeta o sinal sim. O gráfico é simétrico em relação ao eixo de coordenadas. Esta é uma função uniforme.

Função estranha.

chanceé uma função cujo sinal muda quando o sinal é alterado x.

Em outras palavras, para qualquer valor x igualdade f(–x) = –f(x).

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem (Fig. 2).

Exemplos de uma função ímpar:

sim= pecado x

sim = x 3

sim = –x 3

Explicação:

Pegue a função y = - x 3 .
Todos os valores no terá um sinal de menos. Esse é o sinal x afeta o sinal sim. Se a variável independente for número positivo, então a função é positiva, se a variável independente for um número negativo, então a função é negativa: f(–x) = –f(x).
O gráfico da função é simétrico em relação à origem. Esta é uma função estranha.

Propriedades de funções pares e ímpares:

OBSERVAÇÃO:

Nem todos os recursos são pares ou ímpares. Existem funções que não estão sujeitas a tal gradação. Por exemplo, a função raiz no = √X não se aplica a funções pares ou ímpares (Fig. 3). Ao listar as propriedades de tais funções, deve ser dada uma descrição apropriada: nem par nem ímpar.

Funções periódicas.

Como você sabe, periodicidade é a repetição de determinados processos em um determinado intervalo. As funções que descrevem esses processos são chamadas funções periódicas. Ou seja, são funções em cujos gráficos existem elementos que se repetem em determinados intervalos numéricos.

Para trás para a frente

Atenção! A visualização do slide é apenas para fins informativos e pode não representar toda a extensão da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, baixe a versão completa.

Metas:

• formar o conceito de funções pares e ímpares, ensinar a capacidade de determinar e utilizar essas propriedades no estudo de funções, plotagem;
• desenvolver a atividade criativa dos alunos, pensamento lógico, a capacidade de comparar, generalizar;
• cultivar diligência, cultura matemática; desenvolver habilidades de comunicação .

Equipamento: instalação multimídia, quadro interativo, Folheto.

Formas de trabalho: frontal e grupo com elementos de atividades de busca e pesquisa.

Fontes de informação:

1. Classe de álgebra 9 A.G. Mordkovich. Livro didático.
2. Álgebra Grau 9 A.G. Mordkovich. Livro de tarefas.
3. Álgebra 9ª série. Tarefas de aprendizagem e desenvolvimento dos alunos. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DURANTE AS AULAS

1. Momento organizacional

Definir metas e objetivos da aula.

2. Verificando o dever de casa

Nº 10.17 (Livro de problemas do 9º ano A.G. Mordkovich).

A) no = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1.D( f) = [– 2; + ∞)
2.E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 para X ~ 0,4
4. f(X) >0 em X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. A função aumenta com X € [– 2; + ∞)
6. A função é limitada por baixo.
7. no contratar = - 3, no naib não existe
8. A função é contínua.

(Você usou o algoritmo de exploração de recursos?) Deslizar.

2. Vamos verificar a tabela que foi solicitada no slide.

Preencha a mesa
	Domínio	Zeros de função	Intervalos de constância		Coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico com Oy
		x = -5, x = 2	x € (–5;3) U você(2;∞)	х € (–∞;–5) U você (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		x € (–5;3) U você(2;∞)	х € (–∞;–5) U você (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U você(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Atualização de conhecimento

– Funções são dadas.
– Especifique o domínio de definição para cada função.
– Compare o valor de cada função para cada par de valores de argumentos: 1 e – 1; 2 e - 2.
– Para quais das funções dadas no domínio de definição são as igualdades f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (coloque os dados na tabela) Deslizar

		f(1) e f(– 1)	f(2) e f(– 2)	gráficos	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		e não definido.

4. novo material

– Atuação Este trabalho, pessoal, revelamos mais uma propriedade da função, desconhecida para vocês, mas não menos importante que as demais - esta é a função par e ímpar. Escreva o tema da lição: “Funções pares e ímpares”, nossa tarefa é aprender como determinar as funções pares e ímpares, descobrir o significado desta propriedade no estudo de funções e plotagem.
Então, vamos encontrar as definições no livro e ler (p. 110) . Deslizar

Definitivamente. 1 Função no = f (X) definido no conjunto X é chamado até, se por qualquer valor XЄ X em andamento igualdade f (–x) = f (x). Dar exemplos.

Definitivamente. 2 Função y =f(x), definido no conjunto X é chamado chance, se por qualquer valor XЄ X a igualdade f(–х)= –f(х) é cumprida. Dar exemplos.

Onde encontramos os termos “par” e “ímpar”?
Qual dessas funções será par, você acha? Por que? Quais são estranhos? Por que?
Para qualquer função da forma no= x n, Onde né um número inteiro, pode-se argumentar que a função é ímpar para né ímpar e a função é par para n- até.
– Ver funções no= e no = 2X– 3 não é par nem ímpar, porque igualdades não são cumpridas f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

O estudo da questão de saber se uma função é par ou ímpar é chamado de estudo de uma função para paridade. Deslizar

As definições 1 e 2 tratam dos valores da função em x e - x, portanto assume-se que a função também é definida no valor X, e em - X.

APD 3. Se um conjunto de números juntamente com cada um de seus elementos x contém o elemento oposto x, então o conjunto Xé chamado de conjunto simétrico.

Exemplos:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) são conjuntos simétricos e , [–5;4] são assimétricos.

- As funções pares têm um domínio de definição - um conjunto simétrico? Os estranhos?
- Se D( f) é um conjunto assimétrico, então qual é a função?
– Assim, se a função no = f(X) é par ou ímpar, então seu domínio de definição é D( f) é um conjunto simétrico. Mas será que o inverso é verdadeiro, se o domínio de uma função é um conjunto simétrico, então é par ou ímpar?
- Portanto a presença de um conjunto simétrico do domínio de definição é uma condição necessária, mas não suficiente.
– Então, como podemos investigar a função de paridade? Vamos tentar escrever um algoritmo.

Deslizar

Algoritmo para examinar uma função quanto à paridade

1. Determine se o domínio da função é simétrico. Caso contrário, a função não é par nem ímpar. Se sim, vá para a etapa 2 do algoritmo.

2. Escreva uma expressão para f(–X).

3. Compare f(–X).E f(X):

• Se f(–X).= f(X), então a função é par;
• Se f(–X).= – f(X), então a função é ímpar;
• Se f(–X) ≠ f(X) E f(–X) ≠ –f(X), então a função não é par nem ímpar.

Exemplos:

Investigue a função para paridade a) no=x5+; b) no=; V) no= .

Solução.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), conjunto simétrico.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e função h(x)= x 5 + ímpar.

b) y =,

no = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), conjunto assimétrico, portanto a função não é par nem ímpar.

V) f(X) = , y = f(x),

1)D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

opção 2

1. O conjunto dado é simétrico: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Examine a função para paridade:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Na fig. traçado no = f(X), para todos X, satisfazendo a condição X? 0.
Trace a função no = f(X), Se no = f(X) é uma função par.

3. Na fig. traçado no = f(X), para todo x satisfazendo x? 0.
Trace a função no = f(X), Se no = f(X) é uma função estranha.

Verificação mútua deslizar.

6. Lição de casa: №11.11, 11.21,11.22;

Prova do significado geométrico da propriedade de paridade.

*** (Atribuição da opção USE).

1. A função ímpar y \u003d f (x) é definida em toda a linha real. Para qualquer valor não negativo da variável x, o valor desta função coincide com o valor da função g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Encontre o valor da função h( X) = em X = 3.

7. Resumindo

Pesquisa funcional.

1) D(y) – Domínio de definição: o conjunto de todos aqueles valores da variável x. sob o qual as expressões algébricas f(x) e g(x) fazem sentido.

Se a função for dada por uma fórmula, então o domínio de definição consiste em todos os valores da variável independente para os quais a fórmula faz sentido.

2) Propriedades da função: par/ímpar, periodicidade:

chance E até são chamadas funções cujos gráficos são simétricos em relação à mudança no sinal do argumento.

Função estranha- uma função que altera o valor para o oposto quando o sinal da variável independente muda (simétrico em relação ao centro das coordenadas).

Função par- uma função que não muda seu valor quando o sinal da variável independente muda (simétrica em relação ao eixo y).

Nem função par nem ímpar (função visão geral) é uma função que não possui simetria. Esta categoria inclui funções que não se enquadram nas 2 categorias anteriores.

Funções que não pertencem a nenhuma das categorias acima são chamadas nem par nem ímpar(ou funções genéricas).

Funções estranhas

Uma potência ímpar onde é um número inteiro arbitrário.

Funções pares

Uma potência par onde é um número inteiro arbitrário.

Função periódicaé uma função que repete seus valores em algum intervalo regular do argumento, ou seja, não altera seu valor quando algum número fixo diferente de zero é adicionado ao argumento ( período funções) em todo o domínio de definição.

3) Zeros (raízes) de uma função são os pontos onde ela desaparece.

Encontrando o ponto de intersecção do gráfico com o eixo Oi. Para fazer isso, você precisa calcular o valor f(0). Encontre também os pontos de intersecção do gráfico com o eixo Boi, por que encontrar as raízes da equação f(x) = 0 (ou certifique-se de que não haja raízes).

Os pontos onde o gráfico intercepta o eixo são chamados zeros de função. Para encontrar os zeros da função, você precisa resolver a equação, ou seja, encontrar esses valores de x, para o qual a função desaparece.

4) Intervalos de constância de sinais, sinais neles.

Intervalos onde a função f(x) mantém seu sinal.

O intervalo de constância é o intervalo em cada ponto em que função é positiva ou negativa.

ACIMA do eixo x.

ABAIXO do eixo.

5) Continuidade (pontos de descontinuidade, caráter de descontinuidade, assíntotas).

função contínua- uma função sem “saltos”, ou seja, aquela em que pequenas alterações no argumento levam a pequenas alterações no valor da função.

Pontos de interrupção removíveis

Se o limite da função existe, mas a função não está definida neste ponto ou o limite não corresponde ao valor da função neste ponto:

,

então o ponto é chamado ponto de interrupção funções (em análise complexa, um ponto singular removível).

Se "corrigirmos" a função no ponto de descontinuidade removível e colocarmos , então obtemos uma função que é contínua neste ponto. Tal operação em uma função é chamada estendendo a função para contínua ou extensão da função por continuidade, o que justifica o nome do ponto, pois pontos descartável brecha.

Pontos de descontinuidade de primeiro e segundo tipo

Se a função tem uma descontinuidade em um determinado ponto (ou seja, o limite da função em um determinado ponto está ausente ou não coincide com o valor da função em um determinado ponto), então para funções numéricas existem duas opções possíveis relacionado à existência de funções numéricas limites unilaterais:

se ambos os limites unilaterais existem e são finitos, então tal ponto é chamado ponto de ruptura do primeiro tipo. Os pontos de descontinuidade removíveis são pontos de descontinuidade do primeiro tipo;

se pelo menos um dos limites unilaterais não existe ou não é um valor finito, então tal ponto é chamado ponto de ruptura do segundo tipo.

Assíntota - direto, que tem a propriedade de que a distância de um ponto da curva até este direto tende a zero à medida que o ponto se move ao longo do ramo até o infinito.

vertical

Assíntota vertical - linha limite .

Via de regra, ao determinar a assíntota vertical, procuram não um limite, mas dois unilaterais (esquerdo e direito). Isso é feito para determinar como a função se comporta ao se aproximar da assíntota vertical em diferentes direções. Por exemplo:

Horizontal

Assíntota horizontal - direto espécie, sujeita à existência limite

.

oblíquo

Assíntota oblíqua - direto espécie, sujeita à existência limites

Nota: Uma função não pode ter mais do que duas assíntotas oblíquas (horizontais).

Nota: se pelo menos um dos dois limites mencionados acima não existir (ou for igual a ), então a assíntota oblíqua em (ou ) não existe.

se estiver no item 2.), então , e o limite é encontrado pela fórmula da assíntota horizontal, .

6) Encontrando intervalos de monotonicidade. Encontre intervalos de monotonicidade de uma função f(x) (ou seja, intervalos de aumento e diminuição). Isto é feito examinando o sinal da derivada f(x). Para fazer isso, encontre a derivada f(x) e resolva a desigualdade f(x)0. Nos intervalos onde esta desigualdade é satisfeita, a função f(x) aumenta. Onde a desigualdade reversa se mantém f(x)0, função f(x) diminui.

Encontrando um extremo local. Tendo encontrado os intervalos de monotonicidade, podemos determinar imediatamente os pontos de um extremo local onde o aumento é substituído por uma diminuição, existem máximos locais, e onde a diminuição é substituída por um aumento, mínimos locais. Calcule o valor da função nesses pontos. Se uma função tiver pontos críticos que não sejam pontos extremos locais, será útil calcular o valor da função também nesses pontos.

Encontrando os maiores e menores valores da função y = f(x) em um segmento(continuação)

1. Encontre a derivada de uma função: f(x). 2. Encontre pontos onde a derivada é zero: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Determine a propriedade dos pontos X 1 ,X 2 , … segmento [ a; b]: deixar x 1a;b, A x 2a;b . 4. Encontre os valores da função nos pontos selecionados e nas extremidades do segmento: f(x 1), f(x 2),..., f(x a),f(x b), 5. Seleção dos maiores e menores valores da função dentre os encontrados. Comente. Se no segmento [ a; b] existem pontos de descontinuidade, então é necessário calcular limites unilaterais neles, e então levar em consideração seus valores na escolha do maior e do menor valor da função.

7) Encontrando intervalos de convexidade e concavidade. Isto é feito examinando o sinal da segunda derivada f(x). Encontre os pontos de inflexão nas junções dos intervalos convexos e concavitários. Calcule o valor da função nos pontos de inflexão. Se a função tiver outros pontos de continuidade (exceto pontos de inflexão) nos quais a segunda derivada é igual a 0 ou não existe, então nesses pontos também é útil calcular o valor da função. Encontrando f(x) , resolvemos a desigualdade f(x)0. Em cada um dos intervalos de solução, a função será convexa para baixo. Resolvendo a desigualdade reversa f(x)0, encontramos os intervalos nos quais a função é convexa para cima (ou seja, côncava). Definimos pontos de inflexão como aqueles pontos nos quais a função muda a direção da convexidade (e é contínua).

Ponto de inflexão da função- este é o ponto em que a função é contínua e ao passar por onde a função muda a direção da convexidade.

Condições de existência

Condição necessária para a existência de um ponto de inflexão: se a função é duas vezes diferenciável em alguma vizinhança perfurada do ponto, então .

Funçãoé um dos conceitos matemáticos mais importantes. Função - dependência variável no de uma variável x, se cada valor X corresponde a um único valor no. variável X chamada de variável independente ou argumento. variável no chamada de variável dependente. Todos os valores da variável independente (variável x) formam o domínio da função. Todos os valores que a variável dependente assume (variável sim), formam o contradomínio da função.

Gráfico de funções eles chamam o conjunto de todos os pontos do plano coordenado, cujas abcissas são iguais aos valores do argumento, e as ordenadas são iguais aos valores correspondentes da função, ou seja, os valores de as variáveis ​​são plotadas ao longo do eixo das abcissas x, e os valores da variável são plotados ao longo do eixo y sim. Para traçar uma função, você precisa conhecer as propriedades da função. As principais propriedades da função serão discutidas abaixo!

Para traçar um gráfico de função, recomendamos usar nosso programa - Graphing Functions Online. Se você tiver alguma dúvida enquanto estuda o material desta página, você pode perguntar em nosso fórum. Também no fórum você será ajudado a resolver problemas de matemática, química, geometria, teoria das probabilidades e muitos outros assuntos!

Propriedades básicas de funções.

1) Escopo de função e faixa de função.

O escopo de uma função é o conjunto de todos os valores válidos válidos do argumento x(variável x) para a qual a função y =f(x) definiram.
O contradomínio de uma função é o conjunto de todos os valores reais sim que a função aceita.

Na matemática elementar, as funções são estudadas apenas no conjunto dos números reais.

2) Zeros de função.

Valores X, em qual y = 0, é chamado zeros de função. Estas são as abcissas dos pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo x.

3) Intervalos de constância de sinal de uma função.

Os intervalos de constância de sinal de uma função são intervalos de valores x, em que os valores da função sim ou apenas positivos ou apenas negativos são chamados intervalos de constância de sinal da função.

4) Monotonicidade da função.

Função crescente (em algum intervalo) - uma função em que um valor maior do argumento deste intervalo corresponde a um valor maior da função.

Função decrescente (em algum intervalo) - uma função em que um valor maior do argumento deste intervalo corresponde a um valor menor da função.

5) Funções pares (ímpares).

Uma função par é uma função cujo domínio de definição é simétrico em relação à origem e para qualquer X f(-x) =f(x). O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y.

Uma função ímpar é uma função cujo domínio de definição é simétrico em relação à origem e para qualquer X do domínio de definição a igualdade f(-x) = -f(x). O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

Função par
1) O domínio de definição é simétrico em relação ao ponto (0; 0), ou seja, se o ponto a pertence ao domínio de definição, então o ponto -a também pertence ao domínio da definição.
2) Para qualquer valor x f(-x)=f(x)
3) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Oy.

Função estranha tem as seguintes propriedades:
1) O domínio de definição é simétrico em relação ao ponto (0; 0).
2) para qualquer valor x, que pertence ao domínio da definição, a igualdade f(-x)=-f(x)
3) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem (0; 0).

Nem toda função é par ou ímpar. Funções visão geral não são pares nem ímpares.

6) Funções limitadas e ilimitadas.

Uma função é chamada limitada se existe um número positivo M tal que |f(x)| ≤ M para todos os valores de x . Se esse número não existir, a função é ilimitada.

7) Periodicidade da função.

Uma função f(x) é periódica se existe um número T diferente de zero tal que para qualquer x do domínio da função, f(x+T) = f(x). Tal menor númeroé chamado de período da função. Todas as funções trigonométricas são periódicas. (Fórmulas trigonométricas).

Função fé chamado periódico se existe um número tal que para qualquer x do domínio de definição a igualdade f(x)=f(x-T)=f(x+T). Té o período da função.

Toda função periódica possui um número infinito de períodos. Na prática, costuma-se considerar o menor período positivo.

Os valores da função periódica são repetidos após um período igual ao período. Isso é usado ao traçar gráficos.