Lógica: Paradoxos lógicos. Paradoxos lógicos Um exemplo de paradoxo na lógica

PARADOXO LÓGICO

PARADOXO LÓGICO

uma proposição que ainda não é óbvia à primeira vista, mas, ao contrário do que se esperava, expressa a verdade. Na lógica antiga, um paradoxo era chamado de paradoxo, cuja ambigüidade se relaciona principalmente com sua correção ou incorreção. Na matemática moderna, os paradoxos são, na verdade, paradoxos matemáticos. aporia.

Dicionário Enciclopédico Filosófico. 2010 .

PARADOXO LÓGICO

O desenvolvimento de métodos lógicos modernos levou a novos paradoxos lógicos. Por exemplo, Brouwer apontou o seguinte paradoxo da existência clássica: em qualquer teoria clássica suficientemente forte existe uma fórmula demonstrável da forma ExA(x), para a qual é impossível construir qualquer t específico tal que A(t) seja demonstrável .

Em particular, é impossível construir um único modelo não padronizado de números reais na teoria dos conjuntos, embora tais modelos possam ser comprovados. Este paradoxo mostra que os conceitos de existência e construtibilidade são irreversivelmente divergentes na matemática clássica.

Além disso, os modelos não padronizados, que exigiam uma distinção explícita entre linguagem e metalinguagem, levaram ao seguinte paradoxo: “O conjunto de todos os números reais padrão faz parte de um conjunto finito não padronizado. Assim, pode fazer parte do finito.”

Este paradoxo contradiz agudamente a compreensão comum da relação entre o finito e o infinito. Baseia-se no fato de que “ser padrão” pertence a uma metalinguagem, mas pode ser interpretado com precisão em um modelo não padrão. Portanto, no modelo não padronizado, pode-se falar sobre a verdade e a falsidade de quaisquer afirmações matemáticas que incluam o conceito de “ser (não padronizado”, mas para elas as propriedades do modelo padrão não precisam ser preservadas, com exceção das tautologias lógicas.Esse paradoxo tornou-se a base da teoria dos semiconjuntos, na qual pode haver subclasses de conjuntos.

E, finalmente, a última classe de paradoxos lógicos surge nas fronteiras entre conceitos formalizados e informais. Vamos considerar um deles (Simão); “Qualquer coisa que possa ser expressa com precisão pode ser expressa na linguagem das máquinas de Turing. Portanto em humanidades Somente aqueles modelos que podem ser expressos na linguagem das máquinas de Turing podem ser considerados. Além disso, de acordo com o método da diagonalização, qualquer objeção precisa a um determinado ponto de vista é ela própria traduzida e incluída nas máquinas de Turing.”

Este paradoxo estimulou o surgimento da teoria dos conceitos não formalizáveis, mas pelo facto de não ter sido imediatamente reconhecido como um paradoxo, ao mesmo tempo que conduziu a tristes consequências, visto que esta, em que a expressibilidade fundamental (exigindo irrealista recursos) e descrições reais foram confundidas, foram percebidas como raciocínio preciso e, como observado em trabalhos sobre ciência cognitiva, paralisaram a psicologia ocidental por quase 10 anos. A rejeição do argumento de Simon depois de perceber a sua natureza sofística foi estruturada de tal forma que levou a uma rejeição completa de conceitos precisos e, assim, serviu essencialmente como motivação para movimentos como o pós-modernismo. EM nesse caso cometeu-se um erro lógico ao substituir um julgamento contraditório pelo oposto.

Sim. Sim. Nepeyvoda

Nova Enciclopédia Filosófica: Em 4 vols. M.: Pensamento. Editado por VS Stepin. 2001 .

Veja o que é “PARADOXO LÓGICO” em outros dicionários:

- (paradoxos gregos inesperados, estranhos) em sentido amplo: uma afirmação que diverge acentuadamente da opinião geralmente aceita e estabelecida, uma negação do que parece “incondicionalmente correto”; em mais no sentido estrito duas declarações opostas para... ... Enciclopédia Filosófica

O paradoxo de Galileu é um exemplo que ilustra as propriedades de conjuntos infinitos. Resumindo: existem tantos números naturais quantos quadrados de números naturais, ou seja, o conjunto 1, 2, 3, 4... tem o mesmo número de elementos que o conjunto 1, 4, 9, 16. .. ... Wikipédia

Paradoxo- (do grego paradoxos inesperado, estranho) 1) uma opinião, raciocínio ou conclusão que diverge acentuadamente, inesperadamente e incomumente do senso comum geralmente aceito e contraditório (às vezes apenas à primeira vista); 2) um fenômeno incomum e inesperado, não... ... Os primórdios da ciência natural moderna

O Paradoxo do Avô Assassinado é um paradoxo proposto envolvendo viagem no tempo, descrito pela primeira vez (sob este título) pelo escritor de ficção científica René Barjavel em seu livro de 1943, Le Voyageur Imprudent. O paradoxo é... ... Wikipédia

Paradoxo de Smale. Uma das configurações intermediárias, o paradoxo da superfície de Morin (Inglês) ... Wikipedia

O Paradoxo da Garrafa Satânica de Stevenson é um paradoxo lógico descrito na história "A Garrafa Satânica" de R. L. Stevenson. Conteúdo 1 Enredo 2 A essência do paradoxo 3 Veja também... Wikipedia

O paradoxo da execução surpresa é um paradoxo lógico, também conhecido como paradoxo do prisioneiro. O primeiro (em julho de 1948) a publicar um artigo sobre este paradoxo foi D. J. O'Connor, um filósofo da Universidade de Exeter. A formulação de O'Connor incluía um oficial... ... Wikipedia

paradoxo- PARADOXO (do grego para fora e opinião doxa). 1) Em sentido amplo (não lógico), tudo que de uma forma ou de outra entra em conflito (diverge) com a opinião geralmente aceita, confirmada pela tradição, lei, regra, norma ou senso comum.… … Enciclopédia de Epistemologia e Filosofia da Ciência

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Se você não ficar completamente confuso depois de ler esta coleção, então você não está pensando com clareza suficiente.
Desde os tempos antigos, cientistas e pensadores adoram entreter a si mesmos e a seus colegas apresentando problemas insolúveis e formulando vários tipos de paradoxos. Algumas destas experiências mentais permanecem relevantes durante milhares de anos, o que indica as imperfeições de muitos modelos científicos populares e “buracos” em teorias geralmente aceites que há muito são consideradas fundamentais. Convidamos você a refletir sobre os paradoxos mais interessantes e surpreendentes que, como dizem agora, “surpreenderam” mais de uma geração de lógicos, filósofos e matemáticos.
Aporia "Aquiles e a Tartaruga"
O Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga é uma das aporias (afirmações logicamente corretas, mas contraditórias) formuladas pelo antigo filósofo grego Zenão de Eleia no século V aC. Sua essência é a seguinte: o lendário herói Aquiles decidiu competir em uma corrida com uma tartaruga. Como você sabe, as tartarugas não são conhecidas pela agilidade, então Aquiles deu ao oponente uma vantagem de 500 m. Quando a tartaruga supera essa distância, o herói sai em perseguição a uma velocidade 10 vezes maior, ou seja, enquanto a tartaruga rasteja 50 m, Aquiles consegue correr o handicap de 500 m que lhe foi dado. Aí o corredor supera os próximos 50 m, mas neste momento a tartaruga se afasta mais 5 m, parece que Aquiles está prestes a alcançá-la, mas o rival ainda está à frente e enquanto ele corre 5 m, ela consegue avançar mais meio metro e assim por diante. A distância entre eles diminui infinitamente, mas em teoria o herói nunca consegue alcançar a lenta tartaruga; não é muito, mas está sempre à sua frente.


É claro que, do ponto de vista da física, o paradoxo não faz sentido - se Aquiles se mover muito mais rápido, ele avançará de qualquer maneira, mas Zenão, antes de tudo, queria demonstrar com seu raciocínio que os conceitos matemáticos idealizados de “ponto no espaço” e “momento do tempo” não são muito adequados para aplicação correta ao movimento real. Aporia expõe a discrepância entre a ideia matematicamente sólida de que intervalos diferentes de zero de espaço e tempo podem ser divididos indefinidamente (portanto, a tartaruga deve sempre ficar à frente) e a realidade em que o herói, é claro, vence a corrida.
Paradoxo do loop temporal
Os paradoxos que envolvem viagens no tempo têm sido uma fonte de inspiração para escritores de ficção científica e criadores de filmes e séries de TV de ficção científica. Existem várias opções para paradoxos de loop temporal; um dos exemplos mais simples e gráficos de tal problema foi dado em seu livro “The New Time Travellers”, de David Toomey, professor da Universidade de Massachusetts.
Imagine que um viajante do tempo comprou um exemplar de Hamlet de Shakespeare em uma livraria. Ele então foi para a Inglaterra na época da Virgem Rainha Elizabeth I e, encontrando William Shakespeare, entregou-lhe o livro. Ele o reescreveu e publicou como seu próprio trabalho. Centenas de anos se passam, Hamlet é traduzido em dezenas de idiomas, republicado incessantemente, e um dos exemplares vai parar naquela mesma livraria, onde um viajante do tempo o compra e dá a Shakespeare, que faz um exemplar, e assim por diante. ... Quem deve ser considerado neste caso o autor de uma tragédia imortal?
O paradoxo de uma menina e um menino
Na teoria das probabilidades, esse paradoxo também é chamado de "Filhos do Sr. Smith" ou "Problema da Sra. Smith". Foi formulado pela primeira vez pelo matemático americano Martin Gardner em uma das edições da revista Scientific American. Os cientistas têm discutido sobre o paradoxo há várias décadas e existem várias maneiras de resolvê-lo. Depois de pensar sobre o problema, você pode encontrar sua própria solução.
A família tem dois filhos e sabe-se com certeza que um deles é menino. Qual é a probabilidade de o segundo filho também ser do sexo masculino? À primeira vista, a resposta é bastante óbvia - 50/50, ou ele é realmente um menino ou uma menina, as chances deveriam ser iguais. O problema é que, para famílias com dois filhos, existem quatro combinações possíveis de género das crianças – duas meninas, dois rapazes, um rapaz mais velho e uma rapariga mais nova, e vice-versa – uma rapariga mais velha e um rapaz mais novo. O primeiro pode ser excluído, pois um dos filhos é definitivamente um menino, mas neste caso restam três opções possíveis, não dois, e a probabilidade de o segundo filho também ser um menino é de uma chance em três.
O paradoxo de Jourdain com um cartão
O problema proposto pelo lógico e matemático britânico Philip Jourdain no início do século XX pode ser considerado uma das variedades do famoso paradoxo do mentiroso.
Imagine - você tem nas mãos um cartão postal onde está escrito: “Aprovação para verso cartões postais verdadeiramente." Virar o cartão revela a frase “A afirmação do outro lado é falsa”. Como você entende, há uma contradição: se a primeira afirmação for verdadeira, então a segunda também é verdadeira, mas neste caso a primeira deve ser falsa. Se o primeiro lado do cartão postal for falso, então a frase do segundo também não pode ser considerada verdadeira, o que significa que a primeira afirmação novamente se torna verdadeira... Uma versão ainda mais interessante do paradoxo do mentiroso está no próximo parágrafo.
Sofisma "Crocodilo"
Uma mãe e uma criança estão na margem do rio, de repente um crocodilo nada até eles e arrasta a criança para a água. A mãe inconsolável pede para devolver o filho, ao que o crocodilo responde que concorda em devolvê-lo ileso se a mulher responder corretamente à sua pergunta: “Ele vai devolver o filho?” É claro que uma mulher tem duas opções de resposta - sim ou não. Se ela afirma que o crocodilo vai lhe dar o filho, então tudo depende do animal - considerando a resposta verdadeira, o sequestrador vai libertar a criança, mas se disser que a mãe se enganou, ela não verá a criança , de acordo com todas as regras do contrato.
A resposta negativa da mulher complica tudo significativamente - se for correta, o sequestrador deverá cumprir os termos do acordo e libertar a criança, mas assim a resposta da mãe não corresponderá à realidade. Para garantir a falsidade de tal resposta, o crocodilo precisa devolver a criança à mãe, mas isso é contrário ao contrato, pois o erro dela deveria deixar a criança com o crocodilo.
Vale ressaltar que o acordo proposto pelo crocodilo contém uma contradição lógica, portanto sua promessa é impossível de cumprir. O autor deste sofisma clássico é considerado orador, pensador e figura política Corax de Siracusa, que viveu no século V aC.
Aporia "Dicotomia"


Outro paradoxo de Zenão de Eleia, demonstrando a incorreção do modelo matemático idealizado de movimento. O problema pode ser colocado assim: digamos que você se propôs a percorrer alguma rua da sua cidade do começo ao fim. Para fazer isso, você precisa superar a primeira metade, depois metade da metade restante, depois metade do próximo segmento e assim por diante. Em outras palavras, você percorre metade de toda a distância, depois um quarto, um oitavo, um décimo sexto - o número de trechos decrescentes do caminho tende ao infinito, pois qualquer parte restante pode ser dividida em dois, o que significa que é impossível caminhar todo o caminho. Formulando um paradoxo um tanto rebuscado à primeira vista, Zenão queria mostrar que as leis matemáticas contradizem a realidade, porque na verdade é possível percorrer facilmente toda a distância sem deixar rastros.
Aporia "Flecha Voadora"
O famoso paradoxo de Zenão de Eleia aborda as contradições mais profundas nas ideias dos cientistas sobre a natureza do movimento e do tempo. A aporia é formulada da seguinte forma: uma flecha disparada de um arco permanece imóvel, pois a qualquer momento está em repouso e não se move. Se a cada momento a flecha está em repouso, então ela está sempre em estado de repouso e não se move, pois não há nenhum momento no tempo em que a flecha se mova no espaço.


Mentes notáveis ​​​​da humanidade vêm tentando resolver o paradoxo da flecha voadora há séculos, mas do ponto de vista lógico ele é composto de forma absolutamente correta. Para refutá-lo, é necessário explicar como um período de tempo finito pode consistir em um número infinito de momentos de tempo - mesmo Aristóteles, que criticou de forma convincente a aporia de Zenão, não conseguiu provar isso. Aristóteles apontou acertadamente que um período de tempo não pode ser considerado a soma de certos momentos indivisíveis e isolados, mas muitos cientistas acreditam que sua abordagem não é profunda e não refuta a existência de um paradoxo. É importante notar que, ao colocar o problema de uma flecha voadora, Zenão não procurou refutar a possibilidade do movimento como tal, mas sim identificar contradições em conceitos matemáticos idealistas.
O paradoxo de Galileu
Em seus Discursos e Provas Matemáticas sobre Dois Novos Ramos da Ciência, Galileu Galilei propôs um paradoxo que demonstra as curiosas propriedades dos conjuntos infinitos. O cientista formulou dois julgamentos contraditórios. Primeiro, existem números que são quadrados de outros inteiros, como 1, 9, 16, 25, 36 e assim por diante. Existem outros números que não possuem essa propriedade - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 e similares. Assim, o número total de quadrados perfeitos e números ordinários deve ser maior que apenas o número de quadrados perfeitos. A segunda proposição: para cada número natural existe o seu quadrado exato, e para cada quadrado existe uma raiz quadrada inteira, ou seja, o número de quadrados é igual ao número de números naturais.
Com base nesta contradição, Galileu concluiu que o raciocínio sobre o número de elementos era aplicado apenas a conjuntos finitos, embora matemáticos posteriores tenham introduzido o conceito de potência de um conjunto - com a sua ajuda, a validade do segundo julgamento de Galileu foi comprovada para conjuntos infinitos.
O paradoxo do saco de batata


Digamos que um certo agricultor tenha um saco de batatas pesando exatamente 100 kg. Depois de examinar o seu conteúdo, o agricultor descobre que o saco foi armazenado em condições húmidas - 99% da sua massa é água e 1% outras substâncias contidas na batata. Ele decide secar um pouco as batatas para que o teor de água caia para 98% e leva o saco para lugar seco. No dia seguinte verifica-se que um litro (1 kg) de água realmente evaporou, mas o peso do saco diminuiu de 100 para 50 kg, como pode ser isso? Vamos calcular - 99% de 100 kg são 99 kg, o que significa que a relação entre a massa de resíduo seco e a massa de água era inicialmente igual a 1/99. Após a secagem, a água representa 98% da massa total do saco, o que significa que a relação entre a massa do resíduo seco e a massa de água é agora de 1/49. Como a massa do resíduo não mudou, a água restante pesa 49 kg.
É claro que um leitor atento descobrirá imediatamente um erro matemático grosseiro nos cálculos - o imaginário “paradoxo do saco de batatas” cômico pode ser considerado um excelente exemplo de como, com a ajuda de um raciocínio aparentemente “lógico” e “cientificamente apoiado”, pode-se literalmente construir uma teoria do zero que contradiga o bom senso.
Paradoxo do Corvo
O problema também é conhecido como paradoxo de Hempel – recebeu seu segundo nome em homenagem ao matemático alemão Carl Gustav Hempel, seu autor. versão clássica. O problema é formulado de forma bastante simples: todo corvo é preto. Segue-se disso que qualquer coisa que não seja preta não pode ser um corvo. Essa lei é chamada de contraposição lógica, ou seja, se uma determinada premissa “A” tem como consequência “B”, então a negação de “B” equivale à negação de “A”. Se uma pessoa vê um corvo preto, isso fortalece sua crença de que todos os corvos são pretos, o que é bastante lógico, mas de acordo com a contraposição e o princípio da indução, é lógico afirmar que observar objetos que não são pretos (digamos, vermelho maçãs) também prova que todos os corvos são pintados de preto. Em outras palavras, o fato de uma pessoa morar em São Petersburgo prova que ela não mora em Moscou.
Do ponto de vista lógico, o paradoxo parece impecável, mas contradiz a vida real - as maçãs vermelhas não podem de forma alguma confirmar o fato de que todos os corvos são pretos.

Sabe-se que formular um problema muitas vezes é mais importante e mais difícil do que resolvê-lo. “Na ciência”, escreveu o químico inglês F. Soddy, “um problema, colocado corretamente, está mais da metade resolvido. O processo de preparação mental necessário para descobrir que existe um determinado problema muitas vezes leva mais tempo do que resolver o problema em si.”
As formas pelas quais uma situação-problema se manifesta e é reconhecida são muito diversas. Nem sempre se revela na forma de uma pergunta direta que surge logo no início do estudo. O mundo dos problemas é tão complexo quanto o processo de cognição que os gera. Identificar problemas está relacionado à própria essência do pensamento criativo. Os paradoxos são o caso mais interessante de formas implícitas e inquestionáveis ​​de colocar problemas. Os paradoxos são comuns nas fases iniciais do desenvolvimento das teorias científicas, quando os primeiros passos são dados numa área ainda inexplorada e os mais princípios gerais abordagem a isso.

Paradoxos e lógica

Num sentido amplo, um paradoxo é uma posição que diverge acentuadamente das opiniões geralmente aceitas, estabelecidas e ortodoxas. “As opiniões geralmente aceitas e o que é considerado um assunto há muito decidido são na maioria das vezes dignos de investigação” (GLichtenberg). O paradoxo é o início de tal pesquisa.
Um paradoxo num sentido mais restrito e especializado são duas afirmações opostas e incompatíveis, para cada uma das quais existem argumentos aparentemente convincentes.
A forma mais extrema de paradoxo é a antinomia, um raciocínio que prova a equivalência de duas afirmações, uma das quais é uma negação da outra.
Os paradoxos são especialmente famosos nas ciências mais rigorosas e exatas – matemática e lógica. E isso não é coincidência.

Lógicas- ciência abstrata. Não há experimentos nisso, nem mesmo fatos no sentido usual da palavra. Ao construir seus sistemas, a lógica procede, em última análise, da análise do pensamento real. Mas os resultados desta análise são sintéticos e indiferenciados. Não são declarações de quaisquer processos ou eventos individuais que a teoria deva explicar. Obviamente, tal análise não pode ser chamada de observação: um fenômeno específico é sempre observado.
Ao construir uma nova teoria, um cientista geralmente parte dos fatos, daquilo que pode ser observado na experiência. Por mais livre que seja a sua imaginação criativa, ela deve levar em conta uma circunstância indispensável: uma teoria só faz sentido se for consistente com os factos que lhe dizem respeito. Uma teoria que diverge dos fatos e observações é absurda e não tem valor.
Mas se na lógica não há experimentos, nem fatos e nem a própria observação, então o que está impedindo a fantasia lógica? Que fatores, senão fatos, são levados em consideração na criação de novas teorias lógicas?
A discrepância entre a teoria lógica e a prática do pensamento real é muitas vezes revelada na forma de um paradoxo lógico mais ou menos agudo, e às vezes até na forma de uma antinomia lógica, que fala da inconsistência interna da teoria. Isto explica precisamente a importância atribuída aos paradoxos na lógica e a grande atenção que lhes é dada.

Variantes do paradoxo do mentiroso

O mais famoso e, talvez, o mais interessante de todos os paradoxos lógicos é o paradoxo do “Mentiroso”. Foi ele quem principalmente glorificou o nome de Eubulides de Mileto, quem o descobriu.
Existem variações deste paradoxo ou antinomia, muitas das quais são apenas aparentemente paradoxais.
Na versão mais simples de “Mentiroso”, a pessoa pronuncia apenas uma frase: “Estou mentindo”. Ou ele diz: “A afirmação que estou fazendo agora é falsa.” Ou: “Esta afirmação é falsa”.

Se a afirmação for falsa, então o orador disse a verdade, e isso significa que o que ele disse não é mentira. Se a afirmação não for falsa, mas o falante afirma que é falsa, então a sua afirmação é falsa. Acontece, portanto, que se quem fala está mentindo, ele está dizendo a verdade e vice-versa.

Na Idade Média, era comum a seguinte formulação:

“O que Platão disse é falso”, diz Sócrates.

“O que Sócrates disse é a verdade”, diz Platão.

Surge a pergunta: qual deles expressa a verdade e qual é mentira?
Aqui está uma reformulação moderna desse paradoxo. Digamos que na frente do cartão haja apenas as palavras escritas: “Do outro lado deste cartão há uma afirmação verdadeira escrita”. Claramente estas palavras constituem uma declaração significativa. Virando o cartão, devemos encontrar a declaração prometida ou não há nenhuma. Se estiver escrito no verso, é verdade ou não. Porém, no verso estão as palavras: “Há uma declaração falsa escrita no outro lado deste cartão” – e nada mais. Vamos supor que a afirmação na frente seja verdadeira. Então a afirmação no verso deve ser verdadeira e, portanto, a afirmação na frente deve ser falsa. Mas se a afirmação na frente for falsa, então a afirmação no verso também deve ser falsa e, portanto, a afirmação na frente deve ser verdadeira. O resultado é um paradoxo.
O paradoxo do Mentiroso causou uma grande impressão nos gregos. E é fácil perceber porquê. A questão que coloca parece bastante simples à primeira vista: mente quem apenas diz que mente? Mas a resposta “sim” leva à resposta “não” e vice-versa. E a reflexão não esclarece em nada a situação. Por trás da simplicidade e até da rotina da pergunta, ela revela uma profundidade obscura e incomensurável.
Existe até uma lenda de que um certo Filit Kossky, desesperado em resolver este paradoxo, cometeu suicídio. Dizem também que um dos famosos lógicos da Grécia Antiga, Diodoro Cronos, já em seus anos de declínio, fez voto de não comer até encontrar a solução para o “Mentiroso”, e logo morreu sem conseguir nada.
Na Idade Média, esse paradoxo foi classificado como uma das chamadas sentenças indecidíveis e passou a ser objeto de análise sistemática.Na modernidade, “O Mentiroso” por muito tempo não atraiu atenção. Eles não viam nele nenhuma dificuldade, mesmo que pequena, no que diz respeito ao uso da linguagem. E apenas em nosso chamado tempos modernos O desenvolvimento da lógica atingiu finalmente um nível em que os problemas que parecem estar por trás deste paradoxo tornaram-se possíveis de formular em termos estritos.
Agora, “O Mentiroso” - este antigo sofisma típico - é frequentemente chamado de rei dos paradoxos lógicos. Uma extensa literatura científica é dedicada a isso. E, no entanto, tal como acontece com muitos outros paradoxos, não permanece totalmente claro quais os problemas que estão escondidos por detrás deles e como se livrar deles.

Linguagem e metalinguagem

Ora, “O Mentiroso” costuma ser considerado um exemplo característico das dificuldades que surgem da confusão de duas línguas: a língua que fala de uma realidade que está fora de si mesma, e a língua que fala da própria primeira língua.

Na linguagem cotidiana não há distinção entre esses níveis: falamos sobre a realidade e a linguagem na mesma língua. Por exemplo, uma pessoa cuja língua nativa é o russo não vê nenhuma diferença particular entre as afirmações: “O vidro é transparente” e “É verdade que o vidro é transparente”, embora uma delas seja sobre vidro e a outra sobre um declaração sobre vidro.
Se alguém tivesse a ideia da necessidade de falar sobre o mundo em uma língua e sobre as propriedades dessa língua em outra, ele poderia usar duas formas diferentes idiomas existentes, digamos russo e inglês. Em vez de simplesmente dizer: “Vaca é um substantivo”, dir-se-ia “Vaca é um substantivo”, e em vez de: “A afirmação “O vidro não é transparente” é falsa”. Com este uso de dois idiomas diferentes o que é dito sobre o mundo seria claramente diferente do que é dito sobre a linguagem com a qual se fala do mundo. Na verdade, as primeiras afirmações referir-se-iam à língua russa, enquanto a segunda referir-se-ia ao inglês.

Se o nosso especialista em idiomas quisesse falar sobre algumas circunstâncias relacionadas ao idioma inglês, ele poderia usar outro idioma. Digamos alemão. Para falar deste último ponto, poder-se-ia recorrer, por exemplo, à língua espanhola, etc.
Assim, o que surge é uma espécie de escada, ou hierarquia, de linguagens, cada uma das quais é utilizada para um fim muito específico: na primeira falam do mundo objetivo, na segunda sobre esta primeira língua, na terceira sobre o segunda língua, etc. Tal distinção entre línguas de acordo com sua área de aplicação é rara na vida cotidiana. Mas em ciências que lidam especificamente com linguagens, como a lógica, às vezes acaba sendo muito útil. A linguagem em que se fala sobre o mundo é geralmente chamada de linguagem do sujeito. A linguagem usada para descrever a linguagem do assunto é chamada de metalinguagem.

É claro que se a linguagem e a metalinguagem forem distinguidas desta forma, a afirmação “estou mentindo” não poderá mais ser formulada. Fala da falsidade do que é dito em russo e, portanto, pertence à metalinguagem e deve ser expresso em língua Inglesa. Especificamente, deveria soar assim: “Tudo o que falo em russo é falso” (“Tudo o que eu disse em russo é falso”); esta afirmação em inglês não diz nada sobre si mesmo e não surge nenhum paradoxo.
A distinção entre linguagem e metalinguagem permite-nos eliminar o paradoxo do “Mentiroso”. Assim, torna-se possível definir corretamente, sem contradição, o conceito clássico de verdade: uma afirmação é verdadeira se corresponder à realidade que descreve.
O conceito de verdade, como todos os outros conceitos semânticos, é de natureza relativa: sempre pode ser atribuído a uma linguagem específica.

Como mostrou o lógico polaco ATarski, a definição clássica de verdade deve ser formulada numa linguagem mais ampla do que a linguagem a que se destina. Em outras palavras, se quisermos indicar o que significa a frase “uma afirmação verdadeira em uma determinada língua”, devemos, além de expressões dessa língua, usar também expressões que não estão nela.
Tarski introduziu o conceito de linguagem semanticamente fechada. Tal linguagem inclui, além de suas expressões, seus nomes, e também, o que é importante ressaltar, afirmações sobre a veracidade das sentenças nela formuladas.

Não há fronteira entre linguagem e metalinguagem em uma linguagem semanticamente fechada. Os seus meios são tão ricos que permitem não só afirmar algo sobre a realidade extralinguística, mas também avaliar a veracidade de tais afirmações. Esses meios são suficientes, em particular, para reproduzir a antinomia “Mentiroso” na língua. Uma linguagem semanticamente fechada revela-se, portanto, internamente contraditória. Toda linguagem natural é obviamente semanticamente fechada.
A única maneira aceitável de eliminar a antinomia e, portanto, a inconsistência interna, segundo Tarski, é recusar o uso de uma linguagem semanticamente fechada. Este caminho é aceitável, claro, apenas no caso de linguagens artificiais e formalizadas que permitem uma divisão clara em linguagem e metalinguagem. Nas línguas naturais, com a sua estrutura pouco clara e a capacidade de falar sobre tudo na mesma língua, esta abordagem não é muito realista. Não faz sentido levantar a questão da consistência interna destas linguagens. Suas ricas capacidades expressivas também têm seu lado negativo - paradoxos.

Outras soluções para o paradoxo

Portanto, existem afirmações que falam sobre sua própria verdade ou falsidade. A ideia de que este tipo de declarações não são significativas é muito antiga. Foi defendido pelo antigo lógico grego Crisipo.
Na Idade Média, o filósofo e lógico inglês W. Ockham afirmou que a afirmação “Toda afirmação é falsa” não tem sentido, pois fala, entre outras coisas, sobre a sua própria falsidade. Uma contradição decorre diretamente desta afirmação. Se toda afirmação for falsa, então isso se aplica à própria afirmação; mas o fato de ser falsa significa que nem toda afirmação é falsa.

A situação é semelhante com a afirmação “Toda afirmação é verdadeira”. Também deve ser classificado como sem sentido e também leva a uma contradição: se toda afirmação é verdadeira, então a negação dessa afirmação em si é verdadeira, ou seja, a afirmação de que nem toda afirmação é verdadeira.
Por que, contudo, uma afirmação não pode falar significativamente da sua própria verdade ou falsidade?
Já é contemporâneo de Occam, o filósofo francês do século XIV. J. Buridan não concordou com sua decisão. Do ponto de vista das ideias comuns sobre a falta de sentido, expressões como “Estou mentindo”, “Toda afirmação é verdadeira (falsa)”, etc. bastante significativo. O que você pode pensar, você pode falar - este é o princípio geral de Buridan. Uma pessoa pode pensar sobre a verdade da afirmação que pronuncia, o que significa que pode falar sobre ela. Nem toda conversa interna é absurda. Por exemplo, a afirmação “Esta frase está escrita em russo” é verdadeira, mas a afirmação “Há dez palavras nesta frase” é falsa. E ambos fazem todo o sentido. Se é permitido que uma afirmação possa falar sobre si mesma, então por que não é capaz de falar significativamente sobre uma propriedade como a verdade?
O próprio Buridan considerou a afirmação “Estou mentindo” não sem sentido, mas falsa. Ele justificou assim.

Quando uma pessoa afirma uma proposição, ela afirma que ela é verdadeira. Se uma frase diz sobre si mesma que é falsa, então é apenas uma formulação abreviada de uma expressão mais complexa que afirma tanto a sua verdade como a sua falsidade. Esta expressão é contraditória e, portanto, falsa. Mas não é de forma alguma sem sentido.

O argumento de Buridan ainda é por vezes considerado convincente.
Existem outras áreas de crítica à solução do paradoxo do “Mentiroso”, que foi desenvolvido detalhadamente por Tarski. Não existe realmente nenhum antídoto para paradoxos desse tipo em linguagens semanticamente fechadas - e todas as linguagens naturais são assim?
Se assim fosse, então o conceito de verdade só poderia ser definido estritamente em linguagens formalizadas. Somente neles é possível distinguir entre a linguagem sujeito em que se fala sobre o mundo que nos rodeia e a metalinguagem em que se fala sobre essa linguagem. Esta hierarquia de línguas é construída no modelo de aquisição lingua estrangeira com a ajuda de um nativo. O estudo de tal hierarquia levou a muitas conclusões interessantes e, em certos casos, é significativa. Mas não está em linguagem natural. Isso o desacreditará? E se sim, até que ponto? Afinal, o conceito de verdade ainda é usado nele, e geralmente sem complicações. A introdução de uma hierarquia é a única maneira de eliminar paradoxos como “Mentiroso?”

Na década de 1930, as respostas a estas questões pareciam indubitavelmente afirmativas. No entanto, agora a antiga unanimidade já não existe, embora a tradição de eliminar paradoxos deste tipo através da “estratificação” da linguagem permaneça dominante.
Ultimamente, as expressões egocêntricas têm atraído cada vez mais atenção. Eles contêm palavras como “eu”, “este”, “aqui”, “agora”, e sua verdade depende de quando, por quem e onde são usados.

Na afirmação “Esta afirmação é falsa”, aparece a palavra “isso”. A qual objeto exatamente ele se refere? “Mentiroso” pode estar dizendo que a palavra “isso” não é relevante para o significado da afirmação. Mas então a que se refere, o que significa? E por que esse significado ainda não pode ser designado pela palavra “isto”?
Sem entrar em detalhes aqui, vale apenas notar que no contexto da análise das expressões egocêntricas, “Mentiroso” está repleto de um conteúdo completamente diferente do anterior. Acontece que ele não alerta mais contra a confusão entre linguagem e metalinguagem, mas aponta os perigos associados ao uso incorreto da palavra “isso” e de palavras egocêntricas semelhantes.
Os problemas associados a “O Mentiroso” ao longo dos séculos mudaram radicalmente dependendo se ele era visto como um exemplo de ambiguidade, ou como uma expressão que aparece externamente como um exemplo de confusão entre linguagem e metalinguagem, ou, finalmente, como um exemplo típico do uso indevido de expressões egocêntricas. E não há certeza de que outros problemas não estarão associados a este paradoxo no futuro.

O famoso lógico e filósofo finlandês moderno G. von Wright escreveu em sua obra dedicada a “O Mentiroso” que esse paradoxo não deve em caso algum ser entendido como um obstáculo local e isolado que pode ser eliminado com um movimento inventivo de pensamento. “Mentiroso” aborda muitos dos tópicos mais importantes da lógica e da semântica. Esta é a definição da verdade, e a interpretação da contradição e da evidência, e toda uma série de diferenças importantes: entre uma frase e o pensamento que ela expressa, entre o uso de uma expressão e a sua menção, entre o significado de um nome e o objeto que denota.
A situação é semelhante com outros paradoxos lógicos. “As antinomias da lógica”, escreve von Wrigg, “têm-nos intrigado desde a sua descoberta e provavelmente sempre nos confundirão. Penso que devemos considerá-los não tanto como problemas à espera de solução, mas como matéria-prima inesgotável para o pensamento. Eles são importantes porque pensar sobre eles toca nas questões mais fundamentais de toda lógica e, portanto, de todo pensamento.”

Para concluir esta conversa sobre “O Mentiroso”, podemos relembrar um episódio curioso da época em que a lógica formal ainda era ensinada na escola. Em um livro de lógica publicado no final dos anos 40, foi oferecido aos alunos da oitava série trabalho de casa- como um aquecimento, por assim dizer, para descobrir o erro cometido nesta afirmação aparentemente simples: “Estou mentindo”. E, embora possa não parecer estranho, acreditava-se que a maioria dos alunos cumpria com sucesso essa tarefa.

§ 2. Paradoxo de Russell

O mais famoso dos paradoxos já descobertos em nosso século é a antinomia descoberta por B. Russell e comunicada por ele em uma carta a G. Ferge. A mesma antinomia foi discutida simultaneamente em Göttingen pelos matemáticos alemães Z. Zermelo e D. Hilbert.
A ideia estava no ar e sua publicação teve o efeito da explosão de uma bomba. Esse paradoxo causou, segundo Hilbert, o efeito de uma catástrofe completa na matemática. Os métodos lógicos mais simples e importantes, os conceitos mais comuns e úteis estão ameaçados.
Tornou-se imediatamente óbvio que nem na lógica nem na matemática, em toda a longa história de sua existência, absolutamente nada foi desenvolvido que pudesse servir de base. eliminando a antinomia. Um afastamento das formas convencionais de pensar era claramente necessário. Mas de que lugar e em que direção? Quão radical seria romper com as formas estabelecidas de teorização?
Com mais pesquisas sobre a antinomia, a convicção da necessidade de uma abordagem fundamentalmente nova cresceu continuamente. Meio século após a sua descoberta, os especialistas nos fundamentos da lógica e da matemática L. Frenkel e I. Bar-Hillel já afirmavam sem quaisquer reservas: “Acreditamos que qualquer tentativa de sair da situação usando métodos tradicionais (ou seja, aqueles em utilizadas antes do século XX), as formas de pensar, que até agora falharam consistentemente, são obviamente insuficientes para este propósito.”
O moderno lógico americano H. Curry escreveu um pouco mais tarde sobre esse paradoxo: “Em termos da lógica conhecida no século 19, a situação simplesmente não poderia ser explicada, embora, é claro, em nossa era instruída possa haver pessoas que verão (ou pensam que verão), qual é o erro.”

O paradoxo de Russell em sua forma original está associado ao conceito de conjunto ou classe.
Podemos falar sobre conjuntos de objetos diferentes, por exemplo, sobre o conjunto de todas as pessoas ou sobre o conjunto dos números naturais. Um elemento do primeiro conjunto será cada pessoa individual, um elemento do segundo conjunto será cada número natural. Também é permitido considerar os próprios conjuntos como alguns objetos e falar sobre conjuntos de conjuntos. Você pode até introduzir conceitos como o conjunto de todos os conjuntos ou o conjunto de todos os conceitos.

Conjunto de conjuntos comuns

Em relação a qualquer conjunto arbitrário, parece razoável perguntar se é um elemento próprio ou não. Conjuntos que não se contêm como elemento serão chamados de comuns. Por exemplo, o conjunto de todas as pessoas não é uma pessoa, assim como o conjunto dos átomos não é um átomo. Conjuntos que são seus próprios elementos serão incomuns. Por exemplo, um conjunto que une todos os conjuntos é um conjunto e, portanto, contém-se como um elemento.
Consideremos agora o conjunto de todos os conjuntos ordinários. Por serem muitos, também se pode perguntar se é comum ou incomum. A resposta, porém, revela-se desanimadora. Se for ordinário, então, de acordo com a sua definição, deve conter-se como um elemento, uma vez que contém todos os conjuntos ordinários. Mas isso significa que é um conjunto incomum. A suposição de que o nosso conjunto é um conjunto ordinário leva, portanto, a uma contradição. Isso significa que não pode ser comum. Por outro lado, também não pode ser incomum: um conjunto incomum contém-se como um elemento, e os elementos do nosso conjunto são apenas conjuntos comuns. Como resultado, chegamos à conclusão de que o conjunto de todos os conjuntos ordinários não pode ser um conjunto ordinário ou incomum.

Portanto, o conjunto de todos os conjuntos que não são elementos próprios é seu próprio elemento se e somente se não for tal elemento. Esta é uma contradição clara. E foi obtido com base nas suposições mais plausíveis e com a ajuda de passos aparentemente indiscutíveis.A contradição sugere que tal conjunto simplesmente não existe. Mas por que não pode existir? Afinal, consiste em objetos que satisfazem uma condição claramente definida, e a condição em si não parece de alguma forma excepcional ou pouco clara. Se um conjunto tão simples e claramente definido não pode existir, então qual é exatamente a diferença entre conjuntos possíveis e impossíveis? A conclusão sobre a inexistência do conjunto em questão parece inesperada e causa preocupação. Ele faz o nosso conceito geral a multidão é amorfa e caótica, e não há garantia de que não seja capaz de gerar alguns novos paradoxos.

O paradoxo de Russell é notável pela sua extrema generalidade. Para construí-lo, não são necessários conceitos técnicos complexos, como no caso de alguns outros paradoxos; os conceitos de “conjunto” e “elemento de conjunto” são suficientes. Mas esta simplicidade fala apenas da sua natureza fundamental: toca nos fundamentos mais profundos do nosso raciocínio sobre conjuntos, uma vez que não fala de alguns casos especiais, mas de conjuntos em geral.

Outras versões do paradoxo

O paradoxo de Russell não é de natureza especificamente matemática. Ele usa o conceito de conjunto, mas não aborda nenhuma propriedade especial relacionada especificamente à matemática.
Isto torna-se óbvio se reformularmos o paradoxo em termos puramente lógicos.

Para cada propriedade pode-se, com toda a probabilidade, perguntar se ela se aplica a si mesma ou não.
A propriedade de ser quente, por exemplo, não se aplica a si mesma, uma vez que ela própria não é quente; a propriedade de ser concreto também não se refere a si mesma, pois é uma propriedade abstrata. Mas a propriedade de ser abstrato, de ser abstrato, é aplicável a si mesmo. Chamemos essas propriedades auto-inaplicáveis ​​de inaplicáveis. A propriedade de ser inaplicável a si mesmo se aplica? Acontece que uma inaplicabilidade só é inaplicável se não for. Isto é, obviamente, paradoxal.
A versão lógica, relacionada com propriedades, da antinomia de Russell é tão paradoxal quanto a sua versão matemática, relacionada com conjuntos.
Russell também propôs a seguinte versão popular do paradoxo que descobriu.

Imaginemos que o conselho de uma aldeia definisse as funções de um barbeiro da seguinte forma: barbear todos os homens da aldeia que não se barbeiam, e apenas esses homens. Ele deveria se barbear? Se for assim, então ele tratará quem se barbeia, mas quem se barbeia, ele não deve se barbear. Caso contrário, ele será um daqueles que não se barbeia e, portanto, terá que se barbear. Chegamos assim à conclusão de que este barbeiro se barbeia se, e somente se, não se barbeia. Isto é, obviamente, impossível. O argumento sobre um cabeleireiro baseia-se na suposição de que tal cabeleireiro existe. A contradição resultante significa que esta suposição é falsa, e não há nenhum residente da aldeia que barbeie todos aqueles e apenas os aldeões que não se barbeiam.
As funções de cabeleireiro não parecem contraditórias à primeira vista, pelo que a conclusão de que não pode existir parece algo inesperada. Mas esta conclusão não é paradoxal. A condição que o barbeiro da aldeia deve satisfazer é, na verdade, internamente contraditória e, portanto, impossível de cumprir. Não pode haver tal barbeiro na aldeia pela mesma razão que não há nela ninguém que seja mais velho do que ele ou que tenha nascido antes de ele nascer.
A discussão sobre o cabeleireiro pode ser chamada de pseudoparadoxo. No seu curso, é estritamente semelhante ao paradoxo de Russell e é por isso que é interessante. Mas ainda não é um verdadeiro paradoxo.

Outro exemplo do mesmo pseudoparadoxo é o famoso argumento sobre o catálogo.
Uma determinada biblioteca decidiu compilar um catálogo bibliográfico, que incluiria todos aqueles e somente aqueles catálogos bibliográficos que não contenham links para si próprios. Esse diretório deveria incluir um link para si mesmo?
Não é difícil mostrar que a ideia de criar tal catálogo é inviável; simplesmente não pode existir, uma vez que deve incluir simultaneamente uma referência a si mesmo e não incluí-la.
É interessante notar que catalogar todos os diretórios que não contêm uma referência a si mesmos pode ser considerado um processo interminável e interminável. Vamos supor que em algum momento um diretório, digamos K1, foi compilado, incluindo todos os diretórios diferentes dele que não contêm links para si mesmos. Com a criação do K1, apareceu outro diretório que não continha um link para si mesmo. Como o problema é criar um catálogo completo de todos os catálogos que não se mencionam, é óbvio que K1 não é uma solução. Ele não menciona nenhum desses diretórios – ele mesmo. Ao incluir esta menção a si mesmo em K1, obtemos o catálogo K2. Menciona K1, mas não o próprio K2. Ao adicionar tal menção a K2, obtemos KZ, que novamente está incompleto devido ao fato de não mencionar a si mesmo. E assim por diante, sem fim.

§ 3. Paradoxos de Grelling e Berry

Um paradoxo lógico interessante foi descoberto pelos lógicos alemães K. Grelling e L. Nelson (paradoxo de Grelling). Este paradoxo pode ser formulado de forma muito simples.

Palavras autológicas e heterológicas

Algumas palavras de propriedade possuem a mesma propriedade que nomeiam. Por exemplo, o próprio adjetivo “russo” é russo, “polissilábico” é polissilábico e “cinco sílabas” tem cinco sílabas. Tais palavras que se referem a si mesmas são chamadas de autovalorizadas ou autológicas.
Não existem muitas palavras semelhantes; a grande maioria dos adjetivos não possui as propriedades que nomeiam. “Novo” não é, claro, novo, “quente” é quente, “uma sílaba” é uma sílaba e “Inglês” é inglês. Palavras que não possuem a propriedade por elas indicada são chamadas de significado estrangeiro ou heterólogo. Obviamente, todos os adjetivos que denotam propriedades que não podem ser aplicadas a palavras serão heterológicos.
Esta divisão dos adjetivos em dois grupos parece clara e inquestionável. Pode ser estendido a substantivos: “palavra” é uma palavra, “substantivo” é um substantivo, mas “relógio” não é um relógio e “verbo” não é um verbo.
Surge um paradoxo assim que se coloca a questão: a qual dos dois grupos pertence o próprio adjetivo “heterológico”? Se for autólogo, tem a propriedade que denota e deve ser heterológico. Se for heterológico, não possui a propriedade que chama e deve, portanto, ser autológico. Existe um paradoxo.

Por analogia com este paradoxo, é fácil formular outros paradoxos da mesma estrutura. Por exemplo, alguém que mata todas as pessoas não suicidas e não mata nenhuma pessoa suicida comete suicídio ou não?

Descobriu-se que o paradoxo de Grellig era conhecido na Idade Média como a antinomia de uma expressão que não se nomeia. Pode-se imaginar a atitude em relação aos sofismas e paradoxos nos tempos modernos, se um problema que exigia uma resposta e causava debates acalorados fosse subitamente esquecido e redescoberto apenas quinhentos anos depois!

Outra antinomia, aparentemente simples, foi indicada logo no início do nosso século por D. Berry.

O conjunto dos números naturais é infinito. O conjunto desses nomes para esses números que estão, por exemplo, no idioma russo e contêm menos de, digamos, cem palavras, é finito. Isso significa que existem números naturais para os quais não existem nomes em russo que consistam em menos de cem palavras. Entre esses números há obviamente menor número. Não pode ser nomeado usando uma expressão russa contendo menos de cem palavras. Mas a expressão: “O menor número natural para o qual não existe um nome complexo na língua russa, consistindo em menos de cem palavras” é precisamente o nome deste número! Este nome foi formulado apenas em russo e contém apenas dezenove palavras. Um paradoxo óbvio: o número nomeado acabou sendo aquele para o qual não há nome!

§ 4. Disputa insolúvel

Um famoso paradoxo baseia-se num incidente aparentemente pequeno que aconteceu há mais de dois mil anos e não foi esquecido até hoje.

O famoso sofista Protágoras, que viveu no século V. BC. AC, havia um estudante chamado Euathlus, que estudava Direito. De acordo com o acordo celebrado entre eles, Evatl só teria que pagar pelo treinamento se vencesse a primeira prova. Se ele perder esse processo, ele não é obrigado a pagar nada. Porém, após concluir os estudos, Evatl não participou dos processos. Isso durou bastante tempo, a paciência do professor acabou e ele processou seu aluno. Assim, para Euathlus este foi o primeiro processo. Protágoras justificou sua exigência da seguinte forma:

“Qualquer que seja a decisão do tribunal, Evatl terá que me pagar.” Ele vencerá esta primeira tentativa ou perderá. Se ele vencer, pagará de acordo com o nosso acordo. Se perder, pagará de acordo com esta decisão.

Euatlo parece ter sido um aluno competente, pois respondeu a Protágoras:

- Na verdade, ou vencerei o julgamento ou perderei. Se eu ganhar, a decisão do tribunal me isentará da obrigação de pagar. Se a decisão do tribunal não for a meu favor, significa que perdi meu primeiro caso e não pagarei devido ao nosso acordo.

Soluções para o paradoxo de Protágoras e Euathlus

Intrigado com esta reviravolta, Protágoras dedicou um ensaio especial a esta disputa com Euathlus, “The Litigation for Payment”. Infelizmente, como a maior parte do que Protágoras escreveu, não chegou até nós. No entanto, devemos prestar homenagem a Protágoras, que imediatamente percebeu um problema por trás de um simples incidente judicial que merecia um estudo especial.

G. Leibniz, ele próprio advogado de formação, também levou esta disputa a sério. Em sua tese de doutorado, “Um Estudo sobre Casos Confusos no Direito”, ele tentou provar que todos os casos, mesmo os mais complicados, como o litígio de Protágoras e Eubatlus, devem encontrar a resolução correta com base no bom senso. Segundo Leibniz, o tribunal deveria recusar Protágoras pela apresentação intempestiva da reclamação, mas deveria, no entanto, manter o direito de exigir o pagamento de dinheiro a Euathlus posteriormente, nomeadamente após o primeiro caso que ganhou.

Muitas outras soluções para este paradoxo foram propostas.

Referiram-se, em particular, ao facto de uma decisão judicial dever ter maior força do que um acordo privado entre duas pessoas. A isto podemos responder que sem este acordo, por mais insignificante que pareça, não teria havido tribunal nem a sua decisão. Afinal, o tribunal deve tomar a sua decisão precisamente sobre isso e com base nele.

Também se voltaram para o princípio geral de que todo trabalho, e portanto o trabalho de Protágoras, deve ser remunerado. Mas sabe-se que este princípio sempre teve exceções, especialmente numa sociedade escravista. Além disso, simplesmente não é aplicável à situação específica do litígio: afinal, Protágoras, ao mesmo tempo que garantia um elevado nível de formação, recusava-se a aceitar o pagamento caso o seu aluno fosse reprovado no primeiro processo.

Às vezes eles discutem assim. Tanto Protágoras como Euathlus estão parcialmente certos, e nenhum deles está certo em geral. Cada um deles leva em consideração apenas metade das possibilidades que são benéficas para si. A consideração completa ou abrangente abre quatro possibilidades, das quais apenas metade é benéfica para um dos disputantes. Qual dessas possibilidades será realizada será decidida não pela lógica, mas pela vida. Se o veredicto dos juízes tiver maior força do que o contrato, Euathlus terá de pagar apenas se perder o caso, ou seja, em virtude de decisão judicial. Se o acordo privado for superior à decisão dos juízes, então Protágoras receberá o pagamento somente se Euathlus perder o processo, ou seja, em virtude de um acordo com Protágoras.Este apelo à vida confunde tudo completamente. Em que, senão pela lógica, os juízes podem ser guiados em condições em que todas as circunstâncias relevantes são completamente claras? E que tipo de liderança será se Protágoras, que reclama o pagamento através da justiça, só o consegue perdendo o processo?

Contudo, a solução de Leibniz, que à primeira vista parece convincente, é ligeiramente melhor do que a obscura oposição entre lógica e vida. Em essência, Leibniz propõe substituir retroativamente a redação do contrato e estipular que o primeiro julgamento envolvendo Euathlus, cujo resultado decidirá a questão do pagamento, não deveria ser o julgamento de Protágoras. Este pensamento é profundo, mas não está relacionado com um tribunal específico. Se existisse tal cláusula no acordo original, não haveria necessidade de litígio.

Se por solução para esta dificuldade entendemos a resposta à questão de saber se Euathlus deveria ou não pagar Protágoras, então todas estas, como todas as outras soluções concebíveis, são, naturalmente, insustentáveis. Representam apenas um afastamento da essência da disputa; são, por assim dizer, artimanhas sofísticas e artimanhas numa situação desesperadora e insolúvel. Pois nem o bom senso nem quaisquer princípios gerais relativos às relações sociais são capazes de resolver a disputa.
É impossível executar conjuntamente um contrato na sua forma original e uma decisão judicial, qualquer que seja esta. Isto é suficiente para provar remédios simples lógica. Utilizando os mesmos meios, também se pode demonstrar que o contrato, apesar da sua total inocência aparência, internamente contraditório. Requer a implementação de uma proposição logicamente impossível: Evatl deve simultaneamente pagar pela formação e ao mesmo tempo não pagar.

Regras que levam a becos sem saída

É claro que é difícil para a mente humana, habituada não só à sua força, mas também à sua flexibilidade e até à sua desenvoltura, aceitar esta absoluta desesperança e admitir que está num beco sem saída. Isto é especialmente difícil quando a situação de impasse é criada pela própria mente: ela, por assim dizer, tropeça do nada e acaba nas suas próprias redes. E, no entanto, temos de admitir que por vezes, e no entanto, não tão raramente, acordos e sistemas de regras, formados espontaneamente ou introduzidos deliberadamente, conduzem a situações insolúveis e desesperadoras.

Um exemplo da vida recente no xadrez confirmará mais uma vez esta ideia.

As regras internacionais para competições de xadrez obrigam os jogadores de xadrez a registrar o jogo, lance por lance, de forma clara e legível. Até recentemente, as regras também determinavam que um enxadrista que, por falta de tempo, deixasse de registrar vários lances deveria, “assim que terminasse o problema de tempo, preencher imediatamente seu formulário, registrando os lances perdidos”. Com base nesta instrução, um juiz da Olimpíada de Xadrez de 1980 (Malta) interrompeu um jogo sob forte pressão de tempo e parou o cronômetro, declarando que os movimentos de controle haviam sido feitos e, portanto, era hora de colocar os registros dos jogos em ordem.

“Mas com licença”, gritou o participante, que estava na iminência de perder e contando apenas com a intensidade das paixões ao final do jogo, “afinal, nem uma bandeira caiu ainda e ninguém poderá jamais (isso também está escrito nas regras) diga quantos movimentos foram feitos.”
O juiz foi apoiado, porém, pelo árbitro principal, que afirmou que, de fato, já que o problema do tempo havia passado, era necessário, seguindo a letra das regras, começar a registrar os lances perdidos.
Não fazia sentido discutir nesta situação: as próprias regras levavam a um beco sem saída. Faltava apenas alterar a sua redação para que casos semelhantes não pudessem surgir no futuro.
Isso foi feito no congresso da Federação Internacional de Xadrez, que acontecia na mesma época: em vez das palavras “assim que a pressão do tempo acabar”, as regras agora dizem: “assim que a bandeira indicar o fim do tempo."
Este exemplo mostra claramente como agir em situações de impasse. É inútil discutir qual lado está certo: a disputa é insolúvel e não haverá vencedor. Resta apenas aceitar o presente e cuidar do futuro. Para fazer isso, é necessário reformular os acordos ou regras originais para que não levem ninguém à mesma situação desesperadora.
É claro que tal curso de ação não é uma solução para uma disputa insolúvel ou uma saída para uma situação desesperadora. É antes uma parada diante de um obstáculo intransponível e de um caminho que o contorna.

Paradoxo “Crocodilo e Mãe”

Na Grécia Antiga, a história do crocodilo e da mãe, que coincide em seu conteúdo lógico com o paradoxo de “Protágoras e Euathlus”, era muito popular.
Um crocodilo roubou seu filho de uma mulher egípcia que estava na margem do rio. Ao seu apelo para devolver a criança, o crocodilo, derramando, como sempre, uma lágrima de crocodilo, respondeu:

“Seu infortúnio me tocou e vou lhe dar uma chance de ter seu filho de volta.” Adivinhe se vou dar a você ou não. Se você responder corretamente, devolverei a criança. Se você não adivinhar, não vou revelar.

Depois de pensar, a mãe respondeu:

- Você não vai me dar a criança.

“Você não vai entender”, concluiu o crocodilo. “Ou você disse a verdade ou não disse a verdade.” Se é verdade que não entregarei a criança, não a entregarei, caso contrário o que for dito não será verdade. Se o que foi dito não for verdade, então você não adivinhou corretamente e não desistirei da criança por acordo.

Contudo, a mãe não achou esse raciocínio convincente.

“Mas se eu disser a verdade, então você me dará a criança, como combinamos.” Se eu não adivinhei que você não desistiria do filho, então você deve me dar, caso contrário o que eu disse não será falso.

Quem está certo: a mãe ou o crocodilo? A que a promessa que ele faz obriga o crocodilo? Entregar o filho ou, pelo contrário, não entregá-lo? E para ambos ao mesmo tempo. Esta promessa é internamente contraditória e, portanto, não é cumprida pelas leis da lógica.
O missionário acabou com os canibais e chegou bem na hora do almoço. Eles permitem que ele escolha a forma como será comido. Para fazer isso, ele deve proferir alguma afirmação com a condição de que, se essa afirmação for verdadeira, eles o ferverão e, se for falsa, eles o fritarão.

O que você deve dizer ao missionário?

É claro que ele deve dizer: “Você vai me assar”.

Se ele estiver realmente frito, descobrirá que ele falou a verdade, e isso significa que deve ser fervido. Se ele for fervido, sua afirmação será falsa e ele deverá apenas ser frito. Os canibais não terão escolha: de “fritar” vem “cozinhar” e vice-versa.

Este episódio com o astuto missionário é, obviamente, mais uma paráfrase da disputa entre Protágoras e Euathlus.

O paradoxo de Sancho Pança

Um antigo paradoxo, conhecido na Grécia Antiga, é representado em “Dom Quixote” de M. Cervantes. Sancho Pança tornou-se governador da ilha de Barataria e administra a corte.
O primeiro a chegar até ele é um visitante e diz: “Senhor, uma certa propriedade é dividida em duas metades por um rio de águas altas... Então, tem uma ponte sobre esse rio, e ali na beira tem uma forca e há uma espécie de tribunal, onde normalmente se sentam quatro juízes, que julgam com base na lei do dono do rio, da ponte e de todo o património, lei essa que está redigida neste caminho: “Todo aquele que passar pela ponte sobre este rio deve declarar sob juramento: para onde e por que vai, e quem disser a verdade, deixe passar, e quem mente, sem qualquer clemência, mande-o para a forca localizada ali mesmo e executá-los.” Desde a promulgação desta lei com todo o seu rigor, muitos conseguiram atravessar a ponte e, assim que os juízes se convenceram de que os transeuntes diziam a verdade, deixaram-nos passar. Mas então um dia um certo homem, empossado, jurou e disse: ele jura que veio para ser enforcado nesta mesma forca, e por mais nada. Este juramento deixou os juízes perplexos, e eles disseram: “Se permitirmos que este homem continue sem impedimentos, isso significará que ele violou o juramento e, de acordo com a lei, é culpado de morte; se o enforcarmos, então ele jurou que veio apenas para ser enforcado nesta forca, portanto, seu juramento, ao que parece, não é falso e, com base na mesma lei, ele deveria ser deixado passar.” E então pergunto-lhe, Senhor Governador, o que devem fazer os juízes com este homem, porque ainda estão perplexos e hesitantes...
Sancho sugeriu, talvez não sem astúcia: deixar passar a metade de quem disse a verdade, e a metade que mentiu ser enforcada, e assim as regras de travessia da ponte serão integralmente respeitadas. Esta passagem é interessante de várias maneiras.
Em primeiro lugar, é uma ilustração clara do facto de que a situação desesperadora descrita no paradoxo pode muito bem ser encontrada – e não na teoria pura, mas na prática – se não por uma pessoa real, pelo menos por um herói literário.

A solução proposta por Sancho Pança não foi, evidentemente, uma solução para o paradoxo. Mas esta era precisamente a solução que só lhe restava recorrer na sua situação.
Era uma vez, Alexandre, o Grande, em vez de desatar o complicado nó górdio, que ninguém jamais conseguira fazer, simplesmente cortá-lo. Sancho fez o mesmo. Não fazia sentido tentar resolver o enigma nos seus próprios termos; era simplesmente insolúvel. Restava apenas descartar essas condições e introduzir as nossas.
E um momento. Com este episódio, Cervantes condena claramente a escala exorbitantemente formal da justiça medieval, permeada pelo espírito da lógica escolástica. Mas quão difundidas em sua época - e isso foi há cerca de quatrocentos anos - estavam as informações do campo da lógica! Não só o próprio Cervantes está consciente deste paradoxo. O escritor acha possível atribuir ao seu herói, um camponês analfabeto, a capacidade de compreender que se depara com uma tarefa insolúvel!

§ 5. Outros paradoxos

Os paradoxos acima são argumentos que resultam em uma contradição. Mas existem outros tipos de paradoxos na lógica. Apontam também algumas dificuldades e problemas, mas fazem-no de uma forma menos dura e intransigente. Estes, em particular, são os paradoxos discutidos abaixo.

Paradoxos de conceitos imprecisos

A maioria dos conceitos, não apenas na linguagem natural, mas também na linguagem da ciência, são imprecisos ou, como também são chamados, vagos. Muitas vezes isso acaba sendo a causa de mal-entendidos, disputas e até mesmo leva a situações de impasse.
Se o conceito for impreciso, o limite da área dos objetos aos quais é aplicado fica sem nitidez e fica desfocado. Tomemos, por exemplo, o conceito de “pilha”. Um grão (grão de areia, pedra, etc.) não é um monte. Mil grãos são obviamente uma pilha. E três grãos? Que tal dez? Com a adição de quantos grãos se forma uma pilha? Não é muito claro. Assim como não fica claro com a retirada de qual grão a pilha desaparece.
As características empíricas “grande”, “pesado”, “estreito”, etc. são imprecisas. Conceitos comuns como “sábio”, “cavalo”, “casa”, etc. são imprecisos.
Não há um grão de areia que, ao ser retirado, possamos dizer que, uma vez retirado, o que resta não pode mais ser chamado de lar. Mas isto parece significar que em nenhum momento do desmantelamento gradual da casa - até ao seu completo desaparecimento - existe qualquer base para declarar que a casa não existe! A conclusão é claramente paradoxal e desanimadora.
É fácil perceber que o raciocínio sobre a impossibilidade de formar um amontoado é realizado pelo conhecido método de indução matemática. Um grão não forma uma pilha. Se n grãos não formam montes, então n+1 grãos não formam montes. Portanto, nenhum número de grãos pode formar uma pilha.
A possibilidade desta e de provas semelhantes levarem a conclusões absurdas significa que o princípio da indução matemática tem um alcance limitado. Não deve ser usado em raciocínios com conceitos imprecisos e vagos.

Um bom exemplo de como estes conceitos podem levar a disputas intratáveis ​​é um curioso julgamento ocorrido em 1927 nos Estados Unidos. O escultor C. Brancusi entrou na Justiça exigindo que suas obras fossem reconhecidas como obras de arte. Entre as obras enviadas a Nova York para a exposição estava a escultura “Pássaro”, hoje considerada um clássico do estilo abstrato. É uma coluna modulada de bronze polido com cerca de um metro e meio de altura, que não apresenta nenhuma semelhança externa com um pássaro. Os funcionários da alfândega recusaram-se categoricamente a reconhecer as criações abstratas de Brancusi como obras de arte. Eles os conduziram pela coluna “Utensílios e objetos metálicos hospitalares coisas de casa”E impôs-lhes pesadas taxas alfandegárias. Indignado, Brancusi entrou com uma ação judicial.

Os costumes eram apoiados por artistas - membros da Academia Nacional, que defendiam as técnicas tradicionais na arte. Eles atuaram como testemunhas de defesa no julgamento e insistiram categoricamente que a tentativa de fazer passar “O Pássaro” como uma obra de arte era simplesmente uma farsa.
Este conflito destaca claramente a dificuldade de usar o conceito de “obra de arte”. A escultura é tradicionalmente considerada uma forma de arte. Mas o grau de semelhança de uma imagem escultural com o original pode variar dentro de limites muito amplos. E até que ponto uma imagem escultórica, afastando-se cada vez mais do original, deixa de ser uma obra de arte e passa a ser um “utensílio de metal”? Esta questão é tão difícil de responder como a questão de saber onde fica a fronteira entre uma casa e as suas ruínas, entre um cavalo com rabo e um cavalo sem rabo, etc. A propósito, os modernistas estão geralmente convencidos de que a escultura é um objeto de forma expressiva e não precisa ser uma imagem.

Lidar com conceitos imprecisos requer, portanto, uma certa cautela. Não é melhor abandoná-los completamente?

O filósofo alemão E. Husserl estava inclinado a exigir do conhecimento um rigor e uma precisão tão extremos que não são encontrados nem mesmo na matemática. A esse respeito, os biógrafos de Husserl relembram ironicamente um incidente que aconteceu com ele na infância. Ele recebeu um canivete e, decidindo deixar a lâmina extremamente afiada, afiou-a até não sobrar mais nada da lâmina.
Conceitos mais precisos são preferíveis aos imprecisos em muitas situações. O desejo habitual de esclarecer os conceitos utilizados é bastante justificado. Mas deve, claro, ter os seus limites. Mesmo na linguagem da ciência, uma parte significativa dos conceitos é imprecisa. E isso não se deve aos erros subjetivos e aleatórios de cientistas individuais, mas à própria natureza conhecimento científico. Na linguagem natural, a grande maioria dos conceitos imprecisos; isso fala, entre outras coisas, de sua flexibilidade e força oculta. Qualquer pessoa que exija extrema precisão de todos os conceitos corre o risco de ficar totalmente sem uma linguagem. “Privar as palavras de toda ambiguidade, de toda incerteza”, escreveu o esteticista francês J. Joubert, “transforma-as... em dígitos únicos - o jogo deixará a fala, e com ela a eloquência e a poesia: tudo o que é móvel e mutável nos afetos da alma , não será capaz de encontrar sua expressão. Mas o que estou dizendo: privar... direi mais. Prive uma palavra de qualquer imprecisão e você ficará até privado de axiomas.”
Durante muito tempo, tanto os lógicos como os matemáticos não prestaram atenção às dificuldades associadas aos conceitos vagos e aos seus conjuntos correspondentes. A questão foi colocada assim: os conceitos devem ser precisos e tudo o que é vago não merece interesse sério. Nas últimas décadas, porém, esta atitude excessivamente rigorosa perdeu o seu apelo. Foram construídas teorias lógicas que levam especificamente em conta a singularidade do raciocínio com conceitos imprecisos.
A teoria matemática dos chamados conjuntos difusos, coleções mal definidas de objetos, está se desenvolvendo ativamente.
A análise de problemas de imprecisão é um passo para aproximar a lógica da prática do pensamento comum. E podemos supor que trará resultados muito mais interessantes.

Paradoxos da lógica indutiva

Talvez não exista nenhum ramo da lógica que não tenha seus próprios paradoxos.
A lógica indutiva tem seus próprios paradoxos, que têm sido combatidos ativamente, mas até agora sem muito sucesso, durante quase meio século. Particularmente interessante é o paradoxo da confirmação descoberto pelo filósofo americano K. Hempel. É natural supor que as disposições gerais, em particular as leis científicas, sejam confirmadas pelos seus exemplos positivos. Se considerarmos, digamos, a afirmação “Todos os A são B”, então seus exemplos positivos serão objetos que possuem propriedades A e B. Em particular, os exemplos de apoio para a afirmação “Todos os corvos são pretos” são objetos que são ambos corvos. e preto. Esta afirmação é equivalente, contudo, à afirmação “Todas as coisas que não são pretas não são corvos”, e a confirmação desta última deve ser também uma confirmação da primeira. Mas “Tudo o que não é preto não é um corvo” é confirmado por todos os casos de um objeto não preto que não é um corvo. Acontece, portanto, que as observações “A vaca é branca”, “Os sapatos são marrons”, etc. confirme a afirmação “Todos os corvos são pretos”.

Um resultado paradoxal inesperado decorre de premissas aparentemente inocentes.

Na lógica das normas, várias de suas leis causam preocupação. Quando são formuladas em termos significativos, torna-se óbvia a sua inconsistência com as ideias comuns sobre o que é adequado e o que é proibido. Por exemplo, uma das leis diz que a partir da ordem “Envie uma carta!” segue a ordem “Envie a carta ou queime-a!”.
Outra lei estabelece que se uma pessoa violar um de seus deveres, ela terá o direito de fazer o que quiser. A nossa intuição lógica não quer aceitar este tipo de “leis da necessidade”.
Na lógica do conhecimento, o paradoxo da onisciência lógica é intensamente discutido. Ele afirma que uma pessoa conhece todas as consequências lógicas decorrentes das posições que aceita. Por exemplo, se uma pessoa conhece os cinco postulados da geometria de Euclides, então ela conhece toda essa geometria, pois dela decorre. Mas isso não é verdade. Uma pessoa pode concordar com os postulados e ao mesmo tempo não ser capaz de provar o teorema de Pitágoras e, portanto, duvidar que seja verdadeiro.

§ 6. O que é um paradoxo lógico

Não existe uma lista exaustiva de paradoxos lógicos, nem é possível.
Os paradoxos discutidos são apenas uma parte de todos aqueles descobertos até agora. É provável que muitos outros paradoxos, e até mesmo tipos completamente novos deles, sejam descobertos no futuro. O conceito de paradoxo em si não está definido de forma que seja possível compilar uma lista de paradoxos pelo menos já conhecidos.
“Os paradoxos da teoria dos conjuntos são um problema muito sério, não para a matemática, mas sim para a lógica e a teoria do conhecimento”, escreve o matemático e lógico austríaco K. Gödel. “A lógica é consistente. Não existem paradoxos lógicos”, diz o matemático D. Bochvar. Esses tipos de discrepâncias às vezes são significativos, às vezes verbais. A questão depende em grande parte do que exatamente se entende por paradoxo lógico.

A singularidade dos paradoxos lógicos

Um dicionário lógico é considerado um recurso necessário dos paradoxos lógicos.
Os paradoxos classificados como lógicos devem ser formulados em termos lógicos. No entanto, na lógica não existem critérios claros para dividir os termos em lógicos e não lógicos. A lógica, que trata da correção do raciocínio, busca reduzir ao mínimo os conceitos dos quais depende a correção das conclusões aplicadas na prática. Mas este mínimo não é predeterminado de forma inequívoca. Além disso, declarações não lógicas podem ser formuladas em termos lógicos. Nem sempre é possível determinar inequivocamente se um determinado paradoxo utiliza apenas premissas puramente lógicas.
Os paradoxos lógicos não estão estritamente separados de todos os outros paradoxos, assim como estes últimos não são claramente distinguidos de tudo o que é não paradoxal e consistente com as ideias predominantes. No início do estudo dos paradoxos lógicos, parecia que eles poderiam ser identificados pela violação de alguma disposição ou regra da lógica, ainda não estudada. O princípio de um círculo vicioso introduzido por B. Russell reivindicou especialmente ativamente o papel de tal regra. Este princípio afirma que uma coleção de objetos não pode conter membros definíveis apenas por essa mesma coleção.
Todos os paradoxos têm uma propriedade comum – autoaplicabilidade ou circularidade. Em cada um deles, o objeto em questão é caracterizado por um determinado conjunto de objetos aos quais ele próprio pertence. Se destacarmos, por exemplo, a pessoa mais astuta, fazemos isso com a ajuda da totalidade de pessoas a que essa pessoa pertence. E se dissermos: “Esta afirmação é falsa”, caracterizamos a afirmação em questão por referência ao conjunto de todas as declarações falsas que a inclui.

Em todos os paradoxos, ocorre a autoaplicabilidade dos conceitos, o que significa que há, por assim dizer, um movimento em círculo, que acaba levando ao ponto de partida. Num esforço para caracterizar um objeto de nosso interesse, recorremos à totalidade de objetos que o inclui. No entanto, verifica-se que, para ser definido, ele próprio precisa do objeto em questão e não pode ser claramente compreendido sem ele. Neste círculo, talvez, esteja a fonte dos paradoxos.
A situação é complicada, contudo, pelo facto de tal círculo estar presente em muitos argumentos completamente não paradoxais. Circular é uma enorme variedade das formas de expressão mais comuns, inofensivas e ao mesmo tempo convenientes. Exemplos como “a maior de todas as cidades”, “o menor de todos os números naturais”, “um dos elétrons do átomo de ferro”, etc., mostram que nem todo caso de autoaplicabilidade leva a uma contradição e que é importante não apenas na linguagem comum, mas também na linguagem da ciência.
A mera referência ao uso de conceitos autoaplicáveis ​​não é, portanto, suficiente para desacreditar os paradoxos. É necessário algum critério adicional para separar a autoaplicabilidade, levando a um paradoxo, de todos os seus outros casos.
Houve muitas propostas sobre esta matéria, mas nunca foi encontrada uma clarificação bem sucedida da circularidade. Acabou sendo impossível caracterizar a circularidade de tal forma que todo raciocínio circular levasse a um paradoxo, e todo paradoxo fosse o resultado de algum raciocínio circular.
Uma tentativa de encontrar algum princípio específico da lógica, cuja violação seria uma característica distintiva de todos os paradoxos lógicos, não levou a nada definitivo.
Sem dúvida, seria útil alguma classificação dos paradoxos, dividindo-os em tipos e tipos, agrupando alguns paradoxos e contrastando-os com outros. No entanto, também nada de duradouro foi alcançado nesta matéria.

O lógico inglês F. Ramsay, falecido em 1930, quando ainda não tinha vinte e sete anos, propôs dividir todos os paradoxos em sintáticos e semânticos. O primeiro inclui, por exemplo, o paradoxo de Russell, o segundo inclui os paradoxos do “Mentiroso”, Grelling, etc.
Segundo Ramsey, os paradoxos do primeiro grupo contêm apenas conceitos pertencentes à lógica ou à matemática. Estes últimos incluem conceitos como “verdade”, “definibilidade”, “nomeação”, “linguagem”, que não são estritamente matemáticos, mas sim relacionados com a linguística ou mesmo com a teoria do conhecimento. Os paradoxos semânticos parecem dever o seu aparecimento não a algum erro de lógica, mas à imprecisão ou ambiguidade de alguns conceitos não lógicos, portanto os problemas que colocam dizem respeito à linguagem e devem ser resolvidos pela linguística.

Parecia a Ramsey que os matemáticos e os lógicos não tinham necessidade de se interessar por paradoxos semânticos. Mais tarde, porém, descobriu-se que alguns dos resultados mais significativos da lógica moderna foram obtidos precisamente em conexão com um estudo mais aprofundado precisamente desses paradoxos não lógicos.
A divisão dos paradoxos proposta por Ramsey foi amplamente utilizada no início e mantém algum significado hoje. Ao mesmo tempo, torna-se cada vez mais claro que esta divisão é bastante vaga e se baseia principalmente em exemplos e não em análises aprofundadas. avaliação comparativa dois grupos de paradoxos. Os conceitos semânticos já receberam definições precisas e é difícil não admitir que esses conceitos realmente se relacionam com a lógica. Com o desenvolvimento da semântica, que define os seus conceitos básicos em termos da teoria dos conjuntos, a distinção feita por Ramsey torna-se cada vez mais confusa.

Paradoxos e lógica moderna

Que conclusões para a lógica decorrem da existência de paradoxos?
Em primeiro lugar, a presença de um grande número de paradoxos fala da força da lógica como ciência, e não da sua fraqueza, como pode parecer.

Não é por acaso que a descoberta dos paradoxos coincidiu com o período de desenvolvimento mais intenso da lógica moderna e de seus maiores sucessos.
Os primeiros paradoxos foram descobertos antes mesmo do surgimento da lógica como uma ciência especial. Muitos paradoxos foram descobertos na Idade Média. Mais tarde, porém, foram esquecidos e redescobertos em nosso século.
Os lógicos medievais não conheciam os conceitos de “conjunto” e “elemento de um conjunto”, que foram introduzidos na ciência apenas na segunda metade do século XIX. Mas o sentido dos paradoxos estava tão aguçado na Idade Média que já naquela época eram expressas certas preocupações sobre conceitos autoaplicáveis. O exemplo mais simples é o conceito de “ser o próprio elemento”, que aparece em muitos dos paradoxos atuais.
Contudo, tais preocupações, como todas as advertências relativas aos paradoxos em geral, não eram suficientemente sistemáticas e definidas até ao nosso século. Não conduziram a quaisquer propostas claras de revisão das formas habituais de pensar e de expressão.
Somente a lógica moderna tirou do esquecimento o próprio problema dos paradoxos e descobriu ou redescobriu a maioria dos paradoxos lógicos específicos. Ela mostrou ainda que os métodos de pensamento tradicionalmente estudados pela lógica são completamente insuficientes para eliminar paradoxos e indicou métodos fundamentalmente novos para lidar com eles.
Eles apresentam paradoxos questão importante: onde, de fato, alguns métodos convencionais de formação de conceitos e métodos de raciocínio nos falham? Afinal, eles pareciam completamente naturais e convincentes, até que se descobriu que eram paradoxais.

Os paradoxos minam a crença de que os métodos usuais de pensamento teórico, por si só e sem qualquer controle especial sobre eles, proporcionam um progresso confiável em direção à verdade.
Exigente Mudanças radicais Numa abordagem excessivamente crédula da teorização, os paradoxos são uma crítica contundente da lógica na sua forma ingênua e intuitiva. Eles desempenham o papel de fator que controla e impõe restrições à forma de construção de sistemas dedutivos de lógica. E esse papel pode ser comparado ao papel de um experimento que testa a correção de hipóteses em ciências como a física e a química, e força a realização de mudanças nessas hipóteses.
Um paradoxo em uma teoria fala da incompatibilidade dos pressupostos subjacentes a ela. Atua como um sintoma da doença detectado em tempo hábil, sem o qual poderia ter passado despercebido.
É claro que a doença se manifesta de várias maneiras e, no final, pode ser revelada sem sintomas agudos como os paradoxos. Digamos que os fundamentos da teoria dos conjuntos teriam sido analisados ​​e esclarecidos mesmo que nenhum paradoxo tivesse sido descoberto nesta área. Mas não teria havido a acuidade e a urgência com que os paradoxos nele descobertos colocaram o problema da revisão da teoria dos conjuntos.

Existe uma extensa literatura dedicada aos paradoxos, foi proposto grande número suas explicações. Mas nenhuma dessas explicações é geralmente aceita e não há acordo completo sobre a origem dos paradoxos e as formas de se livrar deles.
“Nos últimos sessenta anos, centenas de livros e artigos foram dedicados ao objetivo de resolver paradoxos, mas os resultados são surpreendentemente pobres em comparação com os esforços despendidos”, escreve A. Frenkel. “Parece”, conclui H. Curry a sua análise dos paradoxos, “que é necessária uma reforma completa da lógica, e a lógica matemática pode tornar-se a principal ferramenta para levar a cabo esta reforma”.

O filósofo Stephen Reed sobre o paradoxo do mentiroso, os paradoxos semânticos e sua conexão direta com os fundamentos da matemática.

Vale a pena iniciar uma conversa sobre paradoxos lógicos com um conto que Cervantes conta em seu livro “Dom Quixote”. A certa altura, em Dom Quixote, ele deixa Sancho Pança como governador da ilha de Barataria e, enquanto é governador, seus “súditos” o enganam. Certa manhã, ele foi acordado e lhe disseram: “Antes do café da manhã você tem um assunto para decidir”. E na Espanha naquela época havia muitos vagabundos, então era preciso ter muito cuidado com as pessoas. E assim um proprietário de terras tem um rio fluindo em suas terras, através do qual é lançada uma ponte, e para garantir que todos os transeuntes sejam confiáveis, esse proprietário colocou uma forca e um guarda perto da ponte, que exige que cada transeunte explique para onde e por que ele está indo. Se o transeunte disser a verdade, ele poderá atravessar a ponte, mas se mentir, a forca o aguarda. E estava tudo bem, ajudava a distinguir quem era vagabundo e quem era comerciante, até que um dia chegou um homem que disse: “Meu objetivo é ser enforcado nesta forca e nada mais”. E o guarda ficou surpreso, porque pensou: “Tudo bem, se o enforcarmos, vai descobrir que ele falou a verdade, então deveríamos tê-lo deixado passar, mas se o deixarmos passar, então vai descobrir que ele mentiu, então deveríamos tê-lo deixado passar. “Então, Sancho Pança, como devemos julgar este assunto?” E Sancho Pança leva algum tempo para apreciar o paradoxo, mas no final toma a sua decisão: enforcar a metade de quem mentiu e deixar passar a metade que disse a verdade.

Tudo isto parece divertido para a mente, mas para as pessoas que querem compreender questões de verdade, argumento, linguagem e assim por diante, aponta para algo muito perturbador na natureza da linguagem. Parece muito fácil cair num paradoxo: simplesmente não sabemos se o que aquela pessoa disse era verdade ou não, se mentiu ou não. E isto nos leva de volta ao paradoxo original do mentiroso, formulado por Eubulides no século IV aC. Ele o elevou a uma obra de arte e disse: "Pense na afirmação 'Estou mentindo'". Se eu disser: “Estou mentindo”, é claro que posso me referir a alguma outra afirmação minha, mas se usar formulações extremamente cuidadosas, então posso dizer: “Não, estou mentindo na mesma frase que eu estou dizendo agora: Esta minha afirmação é falsa.” E novamente, se você pensar bem, você dirá: “Se fosse verdade, então como ele diz que sua afirmação é falsa, segue-se que deve ser falsa, não verdadeira, isto é, não pode ser verdadeira - deve seja falso. Mas se for falso, porque diz que é falso, que ele mentiu, deve ser verdade.” Portanto, temos um paradoxo perfeitamente contido numa frase.

Existem muitos desses paradoxos e é fácil entender por que são chamados de paradoxos lógicos: a contradição neles contida é revelada com a ajuda da lógica. Alguns já ouviram falar de Epimênides: ele era natural de Creta e ficou tão decepcionado com a capacidade de seus compatriotas de dizer a verdade que certa vez disse: “Todos os cretenses são mentirosos”. Se ele estava certo, se de fato todos os cretenses eram mentirosos ou outros cretenses sempre mentiram, então a sua própria afirmação deve ser paradoxal. Afinal de contas, se ele disser: “Todos os cretenses são mentirosos”, então ele diz que a sua própria afirmação é falsa, mas neste caso, de facto, todos os cretenses seriam mentirosos, o que significa que ele estava a dizer a verdade quando disse que todos Os cretenses são mentirosos. A saída para o paradoxo, claro, é que se alguns cretenses estivessem a dizer a verdade, então a sua afirmação seria simplesmente falsa, e não paradoxal.

Portanto, temos um grande número desses paradoxos. Aqui está um paradoxo que gosto particularmente: pegue um cartão que diz de um lado: “A afirmação no verso deste cartão é verdadeira”. Você o vira e diz: “A afirmação no verso deste cartão é falsa”. E se você pensar bem, é simplesmente paradoxal, porque se a afirmação do primeiro lado for verdadeira, então isso significa que a afirmação do outro lado também é verdadeira, porque é isso que a primeira afirmação diz; mas no segundo lado está escrito que a primeira afirmação é falsa, ou seja, se a primeira afirmação for verdadeira, é ao mesmo tempo falsa. Mas isto é impossível, o que significa que a segunda afirmação deve ser falsa; mas diz que a primeira afirmação é falsa, então a primeira afirmação não pode ser falsa – deve ser verdadeira. Mas já vimos que se a primeira afirmação for verdadeira, então é falsa, pelo que obtemos um puro paradoxo.

Alguns pensadores medievais preferiram descrever este paradoxo através de Sócrates e Platão ou às vezes de Platão e Aristóteles. Então Platão foi professor de Aristóteles e o considerou seu melhor aluno, então um dia ele disse: “Tudo o que Aristóteles diz é a verdade”. Mas Aristóteles não era um aluno muito bom no sentido de que queria desafiar os ensinamentos de Platão, por isso disse: “Tudo o que Platão diz é falso”, e isto é muito semelhante ao paradoxo das cartas.

Tudo isso eram paradoxos no campo da verdade, da mentira e da linguagem. Mas no século XX encontramos paradoxos na matemática. História curta A questão é esta: após o advento do cálculo, e depois de trabalhar com séries infinitas no século 18, os fundamentos da matemática revelaram-se instáveis, as pessoas fizeram a pergunta “Como funcionam as séries infinitas sem nos levar a contradições na matemática ?” E no século 19 isso se desenrolou grande movimento, cujo objetivo era buscar fundamentos estáveis ​​​​para a matemática. Então a teoria dos conjuntos tornou-se essa base. Um conjunto é uma coleção de objetos definidos por meio de alguma propriedade: por exemplo, pode haver um conjunto de todos os números naturais, um conjunto de números pares ou até mesmo um conjunto de arroz doce - você pode pegar conjuntos diferentes. Em matemática, é claro, apenas conjuntos de números são usados.

E tudo isso parecia ótimo até o final do século XIX. Frege, Dedekind e muitos outros pensadores estabeleceram a matemática ou o que parecia ser a base sólida da teoria dos conjuntos. Mas então Bertrand Russell, o famoso filósofo britânico, lendo as obras de Frege, pensou: “Você pode fornecer muitos números, pode fornecer muitos conjuntos; pode-se definir um conjunto de conjuntos que se incluem, ou pode-se definir um conjunto de conjuntos que não se incluem.” E então ele pensou: “Espere um minuto, se tivermos um conjunto de conjuntos que não se incluem, esse conjunto se incluirá ou não?” Se tal conjunto se incluísse, então não deveria incluir-se, porque por condição tomamos apenas aqueles conjuntos que não se incluem. Portanto, seria melhor se o conjunto não se incluísse, mas se não se incluir, então é um conjunto que não se inclui e deve fazer parte desse conjunto. E, como disse, todos estes paradoxos à primeira vista parecem divertidos para a mente, mas agora, no início do século XX, encontrámos um paradoxo, uma contradição no cerne daquilo que deveriam ser os fundamentos da matemática. Como é amplamente sabido, isto foi um grande golpe para Frege: ele estava prestes a publicar o segundo volume das suas Leis Fundamentais da Aritmética, e teve de acrescentar um apêndice no qual escreveu: “Bertrand Russell apontou um ponto fraco na é o cerne da minha teoria, mas acho que posso resolver esse problema”, e ele propôs uma solução, mas, como se viu, não estava correta.

Voltarei por um momento aos paradoxos na teoria dos conjuntos, porque há outro paradoxo bastante interessante que nos traz de volta à conversa sobre paradoxos relacionados com a verdade, ou os chamados paradoxos semânticos. Assim, cerca de 40 anos depois, por volta de 1940, o matemático e lógico americano Haskell B. Curry estava pensando no paradoxo de Russell e disse: "O paradoxo de Russell é baseado na negação - fala sobre os muitos conjuntos que não se incluem." É possível obter o mesmo paradoxo sem usar a negação? Há algum caminho? E ele disse que existe um caminho. Tomemos o conjunto de todos os conjuntos; se eles se incluírem, então zero é igual a um. De acordo com a teoria dos conjuntos, este é um conjunto completamente admissível. Mas se começarmos a considerar tal conjunto, se ele se incluir, então ele irá satisfazer a condição de que, se se incluir, então zero será igual a um.

E assumimos que inclui a si mesmo, portanto, zero é realmente igual a um. Mas é bastante óbvio que zero não pode ser igual a um, por isso trabalhamos tudo de volta e assumimos que um conjunto não pode incluir-se a si mesmo. Se não se inclui, segue-se imediatamente que ou não se inclui, ou zero é igual a um. Mas isto é o mesmo que dizer que, se se inclui, zero é de facto igual a um – é o mesmo que dizer: ou não se inclui, ou zero é igual a um. E isto é o mesmo que dizer que se um conjunto inclui a si mesmo, então não é não autoinclusivo, então zero é igual a um. Mas então inclui-se a si mesmo, ou seja, provámos que inclui-se a si mesmo, mas como provámos isso, portanto zero é igual a um. Salvar! Acabamos de provar que zero é igual a um! Então, mais uma vez, temos um verdadeiro paradoxo de pesadelo bem no cerne da matemática.

E alguns anos mais tarde este paradoxo foi transformado num dos paradoxos semânticos de que falei anteriormente, e tomou a forma da afirmação: “Se esta afirmação for verdadeira, portanto zero é igual a um”. Ou ainda: “Se esta afirmação for verdadeira, então Deus existe”. E então podemos provar em apenas algumas linhas que Deus existe ou qualquer outra coisa: zero é igual a um, Deus existe, está chovendo hoje em Moscou - podemos provar qualquer coisa com tal afirmação. As pessoas pensam muito na verdade, então é muito perigoso: a verdade é mesmo assim? A verdade é realmente um conceito contraditório?

E terminarei falando brevemente sobre outro paradoxo para mostrar que os paradoxos não param por aí. Aqui está uma afirmação: “Você não conhece esta afirmação” - você não conhece a própria afirmação que estou proferindo agora. Agora vamos supor que você o conheça. Os conceitos de conhecimento e verdade nos dizem que você só pode saber o que é verdadeiro, de modo que se você sabe, é verdade, caso em que você não sabe porque assim diz. Então, se presumirmos que você o conhece, acontece que você não o conhece. Acontece que provamos que você não o conhece, mas diz que você não o conhece, então provamos. E claro, se provamos algo, isso significa que é verdade, isso significa que sabemos, porque temos provas. E acontece que provámos que você conhece esta afirmação e que não a conhece, pelo que temos novamente um paradoxo epistémico.

Vamos resumir. Descrevi vários paradoxos semânticos, principalmente relacionados com o conceito de verdade, e também mostrei que são muito semelhantes aos paradoxos associados à teoria dos conjuntos, que estão no cerne da matemática. Além disso, conhecemos paradoxos epistêmicos que estão associados não apenas ao conceito de verdade, mas também ao conceito de conhecimento. Assim, examinamos alguns paradoxos semânticos, como o paradoxo do mentiroso, o paradoxo de Epimênides e o paradoxo das cartas, que se baseiam no conceito de verdade (neles falamos de mentiras, inverdades, verdade e assim por diante), e depois examinamos vários paradoxos que surgem na matemática - eles estão relacionados à teoria dos conjuntos. E no final falamos também sobre outro tipo de paradoxo – os paradoxos epistêmicos.

Você pode ver imediatamente como é importante para nós encontrar uma solução para esses paradoxos, uma vez que a matemática está envolvida neles, porque procurávamos bases sólidas de matemática para garantir que não cometemos erros - e agora descobrimos uma contradição neles. Portanto, precisamos de uma solução quando se trata de paradoxos matemáticos relacionados com a teoria dos conjuntos, mas também precisamos de uma solução para paradoxos semânticos. Muitos filósofos refletem sobre o conceito de verdade e querem compreender a natureza da verdade, o que é uma afirmação verdadeira. É natural supor que uma afirmação seja verdadeira se tudo for como diz; e agora vejam o paradoxo do mentiroso: é verdade, se minto, isso é paradoxal e leva a uma contradição. Portanto precisamos repensar o conceito de verdade, alguns querem repensar a lógica por trás dela e os métodos de evidência que nos levaram à contradição. E é muito importante que façamos isso se quisermos obter uma compreensão plena dos conceitos de verdade e conhecimento.

gif: postnauka.ru/Stephen Reed

Becos sem saída lógicos (Paradoxos)

É necessário distinguir do sofisma paradoxos lógicos(do grego paradoxos –"inesperado, estranho") Um paradoxo no sentido mais amplo da palavra é algo incomum e surpreendente, algo que diverge das expectativas habituais, do bom senso e experiência de vida. Um paradoxo lógico é uma situação tão incomum e surpreendente quando duas proposições contraditórias não são apenas simultaneamente verdadeiras (o que é impossível devido às leis lógicas da contradição e do terceiro excluído), mas também decorrem uma da outra e condicionam-se mutuamente. Se o sofisma é sempre uma espécie de truque, um erro lógico deliberado que pode ser detectado, exposto e eliminado, então um paradoxo é uma situação insolúvel, uma espécie de impasse mental, um “obstáculo” na lógica: ao longo de sua história, muitos diferentes métodos foram propostos para superar e eliminar paradoxos, no entanto, nenhum deles ainda é exaustivo, definitivo e geralmente aceito.

O paradoxo lógico mais famoso é o paradoxo do “mentiroso”. Ele é frequentemente chamado de “rei dos paradoxos lógicos”. Foi descoberto na Grécia Antiga. Segundo a lenda, o filósofo Diodoro Cronos jurou não comer até resolver esse paradoxo e morrer de fome, sem conseguir nada; e outro pensador, Fileto de Kos, entrou em desespero pela incapacidade de encontrar uma solução para o paradoxo do “mentiroso” e suicidou-se atirando-se de um penhasco ao mar. Existem várias formulações diferentes deste paradoxo. É formulado de forma mais breve e simples em uma situação em que uma pessoa pronuncia uma frase simples: Eu sou um mentiroso. A análise desta afirmação elementar e ingênua à primeira vista leva a um resultado surpreendente. Como você sabe, qualquer afirmação (incluindo a acima) pode ser verdadeira ou falsa. Consideremos sucessivamente ambos os casos, no primeiro dos quais esta afirmação é verdadeira e no segundo é falsa.

Suponhamos que a frase eu sou um mentiroso verdadeiro, ou seja, quem proferiu disse a verdade, mas neste caso ele é realmente um mentiroso, portanto, ao proferir esta frase, ele mentiu. Agora suponha que a frase eu sou um mentirosoé falso, ou seja, quem a pronunciou mentiu, mas neste caso ele não é um mentiroso, mas um contador da verdade, portanto, ao proferir esta frase, ele disse a verdade. Acontece algo incrível e até impossível: se uma pessoa disse a verdade, então ela mentiu; e se ele mentiu, então disse a verdade (duas proposições contraditórias não são apenas simultaneamente verdadeiras, mas também decorrem uma da outra).

Outro famoso paradoxo lógico descoberto no início do século 20 pelo lógico e filósofo inglês

Bertrand Russell, é o paradoxo do “barbeiro da aldeia”. Imaginemos que numa determinada aldeia só existe um barbeiro que faz a barba daqueles moradores que não se barbeiam. A análise desta situação simples leva a uma conclusão extraordinária. Perguntemo-nos: pode um barbeiro de aldeia fazer a barba? Consideremos as duas opções, na primeira ele se barbeia e na segunda não.

Suponhamos que o barbeiro da aldeia se barbeie, mas então ele é um daqueles moradores da aldeia que se barbeiam e a quem o barbeiro não se barbeia, portanto, neste caso, ele não se barbeia. Agora suponhamos que o barbeiro da aldeia não se barbeie, mas então ele pertence àqueles aldeões que não se barbeiam e a quem o barbeiro faz a barba, portanto, neste caso, ele se barbeia. Como vemos, acontece uma coisa incrível: se um barbeiro de aldeia se barbeia, então ele não se barbeia; e se ele não se barbeia, então ele se barbeia (duas proposições contraditórias são simultaneamente verdadeiras e condicionam-se mutuamente).

Os paradoxos do “mentiroso” e do “barbeiro de aldeia”, juntamente com outros paradoxos semelhantes, também são chamados antinomias(do grego antinomia“contradição na lei”), ou seja, raciocínio em que se prova que duas afirmações que se negam decorrem uma da outra. As antinomias são consideradas a forma mais extrema de paradoxos. No entanto, muitas vezes os termos “paradoxo lógico” e “antinomia” são considerados sinônimos.

Uma formulação menos surpreendente, mas não menos famosa que os paradoxos do “mentiroso” e do “barbeiro da aldeia”, é o paradoxo de “Protágoras e Euathlus”, que, tal como o “mentiroso”, apareceu na Grécia Antiga. É baseado em uma história aparentemente simples, que é a de que o sofista Protágoras teve um aluno Euathlus, que teve dele aulas de lógica e retórica

(neste caso – eloquência política e judicial). Professor e aluno concordaram que Euathlus pagaria a Protágoras suas mensalidades somente se ele vencesse sua primeira prova. Porém, ao concluir o treinamento, Evatl não participou de nenhum processo e, claro, não pagou nenhum dinheiro ao professor. Protágoras ameaçou-o processando-o e então Euathlus teria que pagar de qualquer maneira. “Ou você será condenado a pagar uma taxa ou não será condenado”, disse-lhe Protágoras, “se for condenado a pagar, terá que pagar de acordo com o veredicto do tribunal; se você não for condenado a pagar, então você, como vencedor do seu primeiro julgamento, terá que pagar de acordo com o nosso acordo.” A isso Evatl respondeu-lhe: “Tudo está correto: ou serei condenado a pagar uma taxa ou não serei condenado; se eu for condenado a pagar, então eu, como perdedor da minha primeira ação judicial, não pagarei de acordo com o nosso acordo; se não for condenado a pagar, não pagarei o veredicto do tribunal.” Assim, a questão de saber se Euathlus deveria ou não pagar uma taxa a Protágoras é indecisa. O contrato entre professor e aluno, apesar de sua aparência completamente inocente, é internamente, ou logicamente, contraditório, pois exige a implementação de uma ação impossível: Evatl deve pagar pela formação e não pagar ao mesmo tempo. Por isso, o próprio acordo entre Protágoras e Euathlus, bem como a questão do seu litígio, representa nada mais do que um paradoxo lógico.

Um grupo separado de paradoxos é aporia(do grego aporia“dificuldade, perplexidade”) - raciocínio que mostra as contradições entre o que percebemos com os nossos sentidos (ver, ouvir, tocar, etc.) e o que pode ser analisado mentalmente (ou seja, as contradições entre o visível e o imaginável). A aporia mais famosa apresentada filósofo grego antigo Zenão de Eleia, que argumentou que o movimento que observamos em todos os lugares não pode ser objeto de análise mental, ou seja, o movimento pode ser visto, mas não pode ser pensado. Uma de suas aporias é chamada de “Dicotomia” (grego. dicotomia"bissecção"). Suponha que um determinado corpo precise ir do ponto A apontar EM. Não há dúvida de que podemos ver como um corpo, saindo de um ponto, depois de algum tempo chega a outro. Porém, não confiemos nos nossos olhos, que nos dizem que o corpo está em movimento, e procuremos perceber o movimento não com os olhos, mas com os pensamentos; procuremos não vê-lo, mas pensar nele. Neste caso, obteremos o seguinte. Antes de ir até o ponto A apontar EM, o corpo precisa percorrer metade desse caminho, porque se não percorrer metade do caminho, então, é claro, não irá percorrer todo o caminho. Mas antes que o corpo chegue à metade, ele precisa percorrer 1/4 do caminho. No entanto, antes de percorrer 1/4 do caminho, ele precisa percorrer 1/8 do caminho; e mesmo antes disso ele precisa percorrer 1/16 do caminho, e antes disso - 1/32, e antes disso - 1/64, e antes disso - 1/128, e assim por diante, ad infinitum. Então, para ir do ponto A apontar EM, o corpo deve percorrer um número infinito de segmentos desse caminho. É possível passar pelo infinito? Impossível! Portanto, o corpo nunca conseguirá completar sua jornada. Assim, os olhos testemunham que o caminho será percorrido, mas o pensamento, ao contrário, nega (o visível contradiz o concebível).

Outra famosa aporia de Zenão de Eleia - “Aquiles e a Tartaruga” - diz que podemos muito bem ver como o veloz Aquiles alcança e ultrapassa a tartaruga que rasteja lentamente à sua frente; No entanto, a análise mental leva-nos à conclusão incomum de que Aquiles nunca conseguirá alcançar a tartaruga, embora se mova 10 vezes mais rápido que ela. Quando ele percorrer a distância até a tartaruga, então durante o mesmo tempo (afinal, ela também se move) ela percorrerá 10 vezes menos (já que se move 10 vezes mais devagar), ou seja, 1/10 do caminho que Aquiles percorreu, e isso 1/10 estará na frente dele.

Quando Aquiles passar este 1/10 do caminho, a tartaruga fará o mesmo o tempo vai passar 10 vezes menos distância, ou seja, 1/100 do caminho e esta parte 1/100 estará à frente de Aquiles. Quando ele passar 1/100 do caminho que o separa da tartaruga, ao mesmo tempo percorrerá 1/1000 do caminho, permanecendo ainda à frente de Aquiles, e assim por diante, ad infinitum. Assim, estamos novamente convencidos de que os olhos nos falam sobre uma coisa, e o pensamento - sobre algo completamente diferente (o visível é negado pelo pensável).

Outra aporia de Zenão - “Flecha” - nos convida a considerar mentalmente o vôo de uma flecha de um ponto a outro do espaço. Nossos olhos, é claro, indicam que a flecha está voando ou se movendo. Porém, o que acontecerá se tentarmos, abstraindo da impressão visual, imaginar o seu voo? Para fazer isso, façamos uma pergunta simples: onde está a flecha voadora agora? Se, em resposta a esta pergunta, dissermos, por exemplo, Ela está aqui agora ou Ela está aqui agora ou Ela está lá agora então todas essas respostas significarão não o voo da flecha, mas precisamente a sua imobilidade, porque sendo Aqui, ou aqui, ou lá - significa estar em repouso e não se mover. Como podemos responder à pergunta - onde está a flecha voadora agora - de tal forma que a resposta reflita seu vôo, e não sua imobilidade? A única resposta possível neste caso deveria ser esta: Ela está em todo lugar e em lugar nenhum agora. Mas é possível estar em todo lugar e em lugar nenhum ao mesmo tempo? Assim, ao tentar imaginar o vôo de uma flecha, nos deparamos com uma contradição lógica, um absurdo - a flecha está em todo lugar e em lugar nenhum. Acontece que o movimento da flecha pode ser visto, mas não pode ser concebido, pelo que é impossível, como qualquer movimento em geral. Em outras palavras, mover-se, do ponto de vista do pensamento, e não das percepções sensoriais, significa estar em determinado lugar e não estar nele ao mesmo tempo, o que, claro, é impossível.

Na sua aporia, Zenão reuniu num “confronto” os dados dos sentidos (falando da multiplicidade, divisibilidade e movimento de tudo o que existe, assegurando-nos que o veloz Aquiles alcançará a lenta tartaruga, e a flecha atingirá o alvo) e a especulação (que não consegue conceber o movimento ou a multiplicidade dos objetos do mundo, sem cair em contradição).

Certa vez, quando Zenão demonstrava a uma multidão a inconcebibilidade e a impossibilidade de movimento, entre seus ouvintes estava o igualmente famoso filósofo Diógenes de Sinope na Grécia Antiga. Sem dizer nada, levantou-se e começou a andar, acreditando que ao fazer isso estava provando melhor do que qualquer palavra a realidade do movimento. Porém, Zenão não ficou perplexo e respondeu: “Não ande e não balance as mãos, mas tente resolver este problema complexo com a sua mente”. A respeito desta situação, existe ainda o seguinte poema de A. S. Pushkin:

Não há movimento, disse o sábio barbudo,

O outro ficou em silêncio e começou a andar na frente dele.

Ele não poderia ter objetado com mais veemência;

Todos elogiaram a resposta complexa.

Mas, senhores, este é um caso engraçado

Outro exemplo vem à mente:

Afinal, todos os dias o Sol caminha diante de nós,

No entanto, o teimoso Galileu está certo.

E, de fato, vemos claramente que o Sol se move no céu todos os dias de leste a oeste, mas na verdade está imóvel (em relação à Terra). Então, por que não presumimos que outros objetos que vemos em movimento podem na verdade estar imóveis e não nos apressamos em dizer que o pensador eleata estava errado?

Como já foi observado, muitas maneiras de resolver e superar paradoxos foram criadas na lógica. No entanto, nenhum deles está isento de objeções e não é geralmente aceito. A consideração destes métodos é um procedimento teórico longo e tedioso, que permanece além da nossa atenção neste caso. Um leitor curioso poderá se familiarizar com várias abordagens para resolver o problema dos paradoxos lógicos na literatura adicional. Os paradoxos lógicos fornecem evidências de que a lógica, como qualquer outra ciência, não é completa, mas está em constante evolução. Aparentemente, os paradoxos apontam para alguns problemas profundos da teoria lógica, levantam o véu sobre algo ainda não totalmente conhecido e compreendido e delineiam novos horizontes no desenvolvimento da lógica.