Hur man hittar sidan av en triangel med att veta dess höjd. Hitta den största höjden på triangeln

Trianglar.

Grundläggande koncept.

Triangelär en figur som består av tre segment och tre punkter som inte ligger på samma räta linje.

Segmenten kallas partier, och poängen är toppar.

Summan av vinklar triangeln är 180º.

Triangelns höjd.

Triangelhöjd- detta är en vinkelrät ritad från vertex till motsatt sida.

I en spetsig triangel finns höjden inom triangeln (fig. 1).

I en rätvinklig triangel är benen triangelns höjder (fig. 2).

I en trubbig triangel sträcker sig höjden utanför triangeln (fig. 3).

Egenskaper för en triangels höjd:

Halvled i en triangel.

Halvled i en triangel- detta är ett segment som delar hörnet på vertexet på mitten och förbinder vertexet med en punkt på motsatt sida (fig. 5).

Egenskaper för bisektrisen:

Medianen av en triangel.

Medianen av en triangel- detta är ett segment som förbinder vertexet med mitten av den motsatta sidan (fig. 9a).

Längden på medianen kan beräknas med formeln: 2b 2 + 2c 2 - a 2 m a 2 = —————— 4 Var m a- median dras åt sidan A. I en rätvinklig triangel är medianen som dras till hypotenusan lika med halva hypotenusan: c m c = — 2 Var m c- median dras till hypotenusan c(Fig. 9c) Triangelns medianer skär varandra i en punkt (vid triangelns masscentrum) och divideras med denna punkt i förhållandet 2:1, räknat från vertex. Det vill säga segmentet från spetsen till mitten är dubbelt så stort som segmentet från mitten till sidan av triangeln (fig. 9c). De tre medianerna i en triangel delar upp den i sex lika stora trianglar.

Triangelns mittlinje.

Mittlinjen i triangeln- detta är ett segment som förbinder mittpunkterna på dess två sidor (fig. 10).

Triangelns mittlinje är parallell med den tredje sidan och lika med hälften av den

En triangels yttre vinkel.

Externt hörn triangeln är lika med summan av två icke-angränsande inre hörn(Fig. 11).

En yttre vinkel av en triangel är större än någon icke-angränsande vinkel.

Rätt triangel.

Rätt triangelär en triangel som har en rät vinkel (fig. 12).

Sidan i en rätvinklig triangel mitt emot den räta vinkeln kallas hypotenusa.

De andra två sidorna kallas ben.

Proportionella segment i en rätvinklig triangel.

1) I en rätvinklig triangel, höjden från rätt vinkel, bildar tre liknande trianglar: ABC, ACH och HCB (Fig. 14a). Följaktligen är vinklarna som bildas av höjden lika med vinklarna A och B.

Fig. 14a

Likbent triangel.

Likbent triangelär en triangel vars två sidor är lika (fig. 13).

Dessa lika sidor kallas sidor, och den tredje - grund triangel.

I en likbent triangel är basvinklarna lika. (I vår triangel är vinkel A lika med vinkel C).

I en likbent triangel är medianen som dras till basen både bisektrisen och triangelns höjd.

Liksidig triangel.

En liksidig triangel är en triangel där alla sidor är lika (bild 14).

Egenskaper för en liksidig triangel:

Anmärkningsvärda egenskaper hos trianglar.

Trianglar har unika egenskaper som hjälper dig att framgångsrikt lösa problem som involverar dessa former. Några av dessa egenskaper beskrivs ovan. Men vi upprepar dem igen och lägger till några andra underbara funktioner:

1) I en rätvinklig triangel med vinklar på 90º, 30º och 60º ben b, som ligger mitt emot en vinkel på 30º, är lika med hälften av hypotenusan. Ett bena mer benb√3 gånger (bild 15 A). Till exempel, om benet b är 5, då hypotenusan c nödvändigtvis lika med 10, och benet Aär lika med 5√3. 2) I en rät likbent triangel med vinklarna 90º, 45º och 45º är hypotenusan √2 gånger större än benet (Fig. 15) b). Till exempel, om benen är 5, är hypotenusan 5√2. 3) Triangelns mittlinje är lika med hälften av den parallella sidan (bild 15). Med). Till exempel, om sidan av en triangel är 10, då är mittlinjen parallell med den 5. 4) I en rätvinklig triangel är medianen som dras till hypotenusan lika med halva hypotenusan (Fig. 9c): m c= s/2. 5) Medianerna för en triangel, som skär varandra i en punkt, divideras med denna punkt i förhållandet 2:1. Det vill säga segmentet från spetsen till medianernas skärningspunkt är dubbelt så stort som segmentet från medianernas skärningspunkt till triangelns sida (fig. 9c). 6) I en rätvinklig triangel är mitten av hypotenusan centrum för den omskrivna cirkeln (fig. 15) d).

Tecken på likhet av trianglar.

Första tecknet på jämlikhet: om två sidor och vinkeln mellan dem i en triangel är lika med två sidor och vinkeln mellan dem i en annan triangel, då är sådana trianglar kongruenta.

Andra tecknet på jämlikhet: om en sida och dess angränsande vinklar i en triangel är lika med sidan och dess angränsande vinklar i en annan triangel, då är sådana trianglar kongruenta.

Tredje tecknet på jämlikhet: Om tre sidor i en triangel är lika med tre sidor i en annan triangel, så är sådana trianglar kongruenta.

Triangelojämlikhet.

I vilken triangel som helst är varje sida mindre än summan av de andra två sidorna.

Pythagoras sats.

I en rätvinklig triangel är hypotenusans kvadrat lika med summan av benens kvadrater:

c 2 = a 2 + b 2 .

Arean av en triangel.

1) Arean av en triangel är lika med hälften av produkten av dess sida och höjden som dras till denna sida:

ah
S = ——
2

2) Arean av en triangel är lika med hälften av produkten av två av dess sidor och sinus för vinkeln mellan dem:

1
S = — AB · A.C. · synd A
2

En triangel omskriven runt en cirkel.

En cirkel kallas inskriven i en triangel om den vidrör alla dess sidor (bild 16 A).

En triangel inskriven i en cirkel.

En triangel sägs vara inskriven i en cirkel om den vidrör den med alla dess hörn (bild 17) a).

Sinus, cosinus, tangent, cotangens av en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel (Fig. 18).

Sinus spetsig vinkel x motsatt ben till hypotenusa.
Det betecknas på följande sätt: syndx.

Cosinus spetsig vinkel x av en rätvinklig triangel är förhållandet intilliggande ben till hypotenusa.
Betecknas enligt följande: cos x.

Tangent spetsig vinkel x- detta är förhållandet mellan den motsatta sidan och den intilliggande sidan.
Den betecknas enligt följande: tgx.

Cotangens spetsig vinkel x- detta är förhållandet mellan den intilliggande sidan och den motsatta sidan.
Den betecknas enligt följande: ctgx.

Regler:

Ben mittemot hörnet x, är lika med produkten av hypotenusan och synden x:

b = c synd x

Ben i anslutning till hörnet x, är lika med produkten av hypotenusan och cos x:

a = c cos x

Ben mittemot hörnet x, är lika med produkten av det andra benet med tg x:

b = a tg x

Ben i anslutning till hörnet x, är lika med produkten av det andra benet med ctg x:

a = b· ctg x.

För alla spetsiga vinklar x:

synd (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = synd x

Att beräkna höjden på en triangel beror på själva figuren (likbent, liksidig, skalenlig, rektangulär). I praktisk geometri hittas som regel inte komplexa formler. Tillräckligt att veta allmän princip beräkningar så att den kan tillämpas universellt på alla trianglar. Idag kommer vi att presentera dig för grundläggande principer beräkna höjden på en figur med hjälp av beräkningsformler baserade på egenskaperna hos trianglarnas höjder.

Vad är höjd?

Höjd har flera utmärkande egenskaper

1. Punkten där alla höjder ansluter kallas ortocenter. Om triangeln är spetsig är ortocentret beläget inuti figuren, om en av vinklarna är trubbig, är ortocentret som regel utanför.
2. I en triangel där en vinkel är 90° sammanfaller ortocentrum och vertex.
3. Beroende på typen av triangel finns det flera formler för att hitta triangelns höjd.

Traditionell datoranvändning

1. Om p är halva omkretsen, då är a, b, c beteckningen på sidorna av den önskade figuren, h är höjden, då kommer den första och enklaste formeln att se ut så här: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c).
2. I skolböcker kan man ofta hitta problem där värdet på en av sidorna i en triangel och storleken på vinkeln mellan denna sida och basen är känt. Då kommer formeln för att beräkna höjden att se ut så här: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. När arean av triangeln är given - S, såväl som längden på basen - a, kommer beräkningarna att vara så enkla som möjligt. Höjden hittas med formeln: h = 2S/a.
4. När radien på cirkeln som beskrivs runt figuren ges, beräknar vi först längden på dess två sidor och fortsätter sedan med att beräkna triangelns givna höjd. För att göra detta använder vi formeln: h = b ∙ c/2R, där b och c är de två sidorna av triangeln som inte är basen och R är radien.

Hur hittar man höjden på en likbent triangel?

Alla sidor av denna figur är ekvivalenta, deras längder är lika, därför kommer vinklarna vid basen också att vara lika. Det följer av detta att höjderna som vi ritar på baserna också kommer att vara lika, de är också medianer och bisektorer samtidigt. Tala på ett enkelt språk, höjden i en likbent triangel delar basen i två. Triangeln med rät vinkel, som erhålls efter att ha ritat höjden, kommer att övervägas med hjälp av Pythagoras sats. Låt oss beteckna sidan som a och basen som b, då är höjden h = ½ √4 a2 − b2.

Hur hittar man höjden på en liksidig triangel?

Formeln för en liksidig triangel (en figur där alla sidor är lika stora) kan hittas baserat på tidigare beräkningar. Det är bara nödvändigt att mäta längden på en av triangelns sidor och beteckna den som en. Sedan härleds höjden av formeln: h = √3/2 a.

Hur hittar man höjden på en rätvinklig triangel?

Som ni vet är vinkeln i en rätvinklig triangel 90°. Höjden sänkt av ena sidan är också den andra sidan. Höjderna för en triangel med rät vinkel kommer att ligga på dem. För att få data om höjden måste du omvandla den befintliga pytagoreiska formeln något, beteckna benen - a och b, och även mäta längden på hypotenusan - c.

Låt oss hitta längden på benet (sidan som höjden kommer att vara vinkelrät mot): a = √ (c2 − b2). Längden på det andra benet hittas med exakt samma formel: b =√ (c2 − b2). Därefter kan du börja beräkna höjden på en triangel med en rät vinkel, efter att först ha beräknat arean av figuren - s. Höjdvärdet är h = 2s/a.

Beräkningar med skalen triangel

När en skalen triangel har spetsiga vinklar är höjden sänkt till basen synlig. Om triangeln har en trubbig vinkel, kan höjden vara utanför figuren, och du måste mentalt fortsätta den för att få kopplingspunkten för höjden och triangelns bas. Mest på ett enkelt sätt att mäta höjden är att beräkna den genom en av sidorna och storleken på vinklarna. Formeln är följande: h = b sin y + c sin ß.

Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

• När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig med unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
• Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

• Om det behövs - i enlighet med lagen, rättsligt förfarande, i rättegång, och/eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter i Ryska federationen - lämna ut din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhets-, brottsbekämpande eller andra offentliga ändamål.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

En triangels höjd är den vinkelräta som går ned från valfri hörn av triangeln till den motsatta sidan, eller till dess fortsättning (den sida på vilken vinkelrät sjunker, i I detta fall kallas triangelns bas).

I en trubbig triangel faller två höjder på sidornas förlängning och ligger utanför triangeln. Den tredje är inuti triangeln.

I en spetsig triangel ligger alla tre höjderna inuti triangeln.

I en rätvinklig triangel fungerar benen som höjder.

Hur man hittar höjd från bas och område

Låt oss komma ihåg formeln för att beräkna arean av en triangel. Arean av en triangel beräknas med formeln: A = 1/2 bh.

• A är arean av triangeln
• b är den sida av triangeln på vilken höjden sänks.
• h - triangelns höjd

Titta på triangeln och fundera över vilka mängder du redan vet. Om du får ett område, märk det "A" eller "S". Du bör också få betydelsen av sidan, märk den "b". Om du inte får området och inte får sidan, använd en annan metod.

Tänk på att basen av en triangel kan vara vilken sida som helst som höjden sänks till (oavsett hur triangeln är placerad). För att bättre förstå detta, föreställ dig att du kan rotera denna triangel. Vänd den så att sidan du känner är vänd nedåt.

Till exempel är arean av en triangel 20, och en av dess sidor är 4. I det här fallet, "'A = 20″', ''b = 4'".

Ersätt värdena som du fått i formeln för att beräkna arean (A = 1/2bh) och hitta höjden. Multiplicera först sidan (b) med 1/2 och dividera sedan arean (A) med det resulterande värdet. På så sätt hittar du triangelns höjd.

I vårt exempel: 20 = 1/2(4)h

20 = 2 timmar
10 = h

Kom ihåg egenskaperna hos en liksidig triangel. I en liksidig triangel är alla sidor och alla vinklar lika (varje vinkel är 60˚). Om du ritar höjden i en sådan triangel får du två lika räta trianglar.
Tänk till exempel på en liksidig triangel med sidan 8.

Kom ihåg Pythagoras sats. Pythagoras sats säger att i vilken rätvinklig triangel som helst med benen "a" och "b" är hypotenusan "c" lika med: a2+b2=c2. Denna sats kan användas för att hitta höjden på en liksidig triangel!

Dela den liksidiga triangeln i två räta trianglar (rita höjden för att göra detta). Märk sedan sidorna av en av de räta trianglarna. Den laterala sidan av en liksidig triangel är hypotenusan "c" i en rätvinklig triangel. Ben "a" är lika med 1/2 av sidan av den liksidiga triangeln, och ben "b" är den önskade höjden på den liksidiga triangeln.

Så i vårt exempel på en liksidig triangel med en känd sida av 8: c = 8 och a = 4.

Koppla in dessa värden i Pythagoras sats och beräkna b2. Först, ruta "c" och "a" (multiplicera varje värde med sig själv). Subtrahera sedan a2 från c2.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Avlägsna Roten ur från b2 för att hitta triangelns höjd. För att göra detta, använd en miniräknare. Det resulterande värdet blir höjden på din liksidiga triangel!

b = √48 = 6,93

Hur man hittar höjd med hjälp av vinklar och sidor

Fundera på vilka betydelser du vet. Du kan hitta höjden på en triangel om du känner till värdena på sidorna och vinklarna. Till exempel om vinkeln mellan basen och sidan är känd. Eller om värdena för alla tre sidorna är kända. Så låt oss beteckna triangelns sidor: "a", "b", "c", triangelns vinklar: "A", "B", "C" och området - bokstaven "S".

Om du känner till alla tre sidorna behöver du arean av triangeln och Herons formel.

Om du känner till de två sidorna och vinkeln mellan dem kan du använda följande formel för att hitta arean: S=1/2ab(sinC).

Om du får värdena för alla tre sidorna, använd Herons formel. Med den här formeln måste du utföra flera steg. Först måste du hitta variabeln "s" (vi betecknar halva triangelns omkrets med denna bokstav). För att göra detta, ersätt de kända värdena i denna formel: s = (a+b+c)/2.

För en triangel med sidorna a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. Resultatet är: s=12/2, där s=6.

Sedan, som ett andra steg, hittar vi området (den andra delen av Herons formel). Area = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Istället för ordet "area", infoga motsvarande formel för att hitta arean: 1/2bh (eller 1/2ah, eller 1/2ch).

Hitta nu ett ekvivalent uttryck för höjd (h). För vår triangel kommer följande ekvation att vara giltig: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Där 3/2h=√(6(2(3(1))). Det visar sig att 3/2h = √(36). Använd en miniräknare och räkna ut kvadratroten. I vårt exempel: 3/2h = 6. Det visar sig att höjden (h) är lika med 4, sidan b är basen.

Om, enligt villkoren för problemet, två sidor och en vinkel är kända kan du använda en annan formel. Ersätt arean i formeln med det ekvivalenta uttrycket: 1/2bh. Således får du följande formel: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Det kan förenklas till följande form: h = a(sin C) för att ta bort en okänd variabel.

Nu återstår bara att lösa den resulterande ekvationen. Låt till exempel "a" = 3, "C" = 40 grader. Då kommer ekvationen att se ut så här: "h" = 3(sin 40). Använd en miniräknare och en sinustabell för att beräkna värdet på "h". I vårt exempel är h = 1,928.

Först och främst är en triangel geometrisk figur, som bildas av tre punkter som inte ligger på samma räta linje och är förbundna med tre segment. För att hitta höjden på en triangel måste du först bestämma dess typ. Trianglar skiljer sig åt i storleken på sina vinklar och antalet lika stora vinklar. Beroende på storleken på vinklarna kan en triangel vara spetsig, trubbig och rektangulär. Baserat på antalet lika sidor särskiljs trianglar som likbenta, liksidiga och skalenliga. Höjden är den vinkelräta som sänks till motsatt sida av triangeln från dess vertex. Hur hittar man höjden på en triangel?

Hur man hittar höjden på en likbent triangel

En likbent triangel kännetecknas av lika sidor och vinklar vid dess bas, därför är höjderna på en likbent triangel som dras till sidosidorna alltid lika med varandra. Dessutom är höjden på denna triangel både en median och en bisektrik. Följaktligen delar höjden basen på mitten. Vi betraktar den resulterande räta triangeln och hittar sidan, det vill säga höjden på den likbenta triangeln, med hjälp av Pythagoras sats. Med hjälp av följande formel beräknar vi höjden: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, där: a - sida för en given likbent triangel är b basen för en given likbent triangel.

Hur man hittar höjden på en liksidig triangel

En triangel med lika sidor kallas liksidig. Höjden på en sådan triangel härleds från formeln för höjden på en likbent triangel. Det visar sig: H = √3/2*a, där a är sidan av denna liksidiga triangel.

Hur man hittar höjden på en skalentriangel

En skala är en triangel där två sidor inte är lika med varandra. I en sådan triangel kommer alla tre höjderna att vara olika. Du kan beräkna längderna på höjderna med formeln: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, där a är sidan av triangeln eller beräkna först arean av en viss triangel med Herons formel, som ser ut som: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, där a, b, c är sidorna av en skalen triangel och p är dess halvomkrets. Varje höjd = 2*area/sida

Hur man hittar höjden på en rätvinklig triangel

En rät triangel har en rät vinkel. Höjden som går till ett av benen är samtidigt det andra benet. Därför, för att hitta höjderna som ligger på benen, måste du använda den modifierade Pythagoras formel: a = √(c 2 − b 2), där a, b är benen (a är det ben som måste hittas), c är längden på hypotenusan. För att hitta den andra höjden måste du sätta det resulterande värdet a i stället för b. För att hitta den tredje höjden som ligger inuti triangeln används följande formel: h = 2s/a, där h är höjden på den räta triangeln, s är dess area, a är längden på sidan till vilken höjden kommer att vara vinkelrät.

En triangel kallas spets om alla dess vinklar är spetsiga. I det här fallet är alla tre höjderna belägna inuti en spetsig triangel. En triangel kallas trubbig om den har en trubbig vinkel. Två höjder av en trubbig triangel ligger utanför triangeln och faller på fortsättningen av sidorna. Den tredje sidan är inuti triangeln. Höjden bestäms med samma Pythagoras sats.

Allmänna formler för att beräkna höjden på en triangel

• Formel för att hitta höjden på en triangel genom sidorna: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), där h är höjden som ska hittas, a, b och c är sidorna på en given triangel, p är dess halvomkrets, .
• Formel för att hitta höjden på en triangel med hjälp av en vinkel och en sida: H=b sin y = c sin ß
• Formeln för att hitta höjden på en triangel genom area och sida: h = 2S/a, där a är sidan av triangeln och h är höjden konstruerad till sidan a.
• Formeln för att hitta höjden på en triangel med hjälp av radien och sidorna: H= bc/2R.