Bernoulli equation (Bernoulli integral). Bernoulli equation (Bernoulli integral) Derivation ng Torricelli's formula mula sa batas ni Bernoulli

Bernoulli equation(Bernoulli integral) sa hydroaeromechanics [[pinangalanan sa Swiss scientist na si D. Bernoulli], isa sa mga pangunahing equation ng hydromechanics, na, sa panahon ng tuluy-tuloy na paggalaw ng isang incompressible ideal fluid sa isang pare-parehong larangan ng gravity, ay may anyo:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
kung saan ang v ay ang bilis ng likido, ang ρ ay ang density nito, ang p ay ang presyon sa loob nito, ang h ay ang taas ng likidong particle sa itaas ng isang tiyak na pahalang na eroplano, ang g ay ang acceleration ng libreng pagkahulog, ang C ay isang pare-parehong halaga sa bawat isa. streamline, ngunit sa pangkalahatang kaso binabago ang halaga nito kapag lumilipat mula sa isang streamline patungo sa isa pa.

Ang kabuuan ng unang dalawang termino sa kaliwang bahagi ng equation (1) ay katumbas ng kabuuang potensyal, at ang ikatlong termino ay katumbas ng kinetic energy, na tinutukoy sa mga yunit. likidong masa; Dahil dito, ang buong equation ay nagpapahayag ng batas ng konserbasyon ng mekanikal na enerhiya para sa isang gumagalaw na likido at nagtatatag ng isang mahalagang relasyon sa pagitan ng v, p at h. Halimbawa, kung, sa isang pare-parehong h, ang bilis ng daloy sa isang streamline ay tumataas, pagkatapos ay bumababa ang presyon, at kabaliktaran. Ginagamit ang batas na ito kapag nagsusukat ng bilis gamit ang mga panukat na tubo at iba pang aerodynamic na mga sukat.

Ang equation ni Bernoulli ay kinakatawan din sa anyo
h + p/γ + v 2 /2g = C o
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(kung saan ang γ =ρg ay ang tiyak na gravity ng likido). Sa unang pagkakapantay-pantay, ang lahat ng mga termino ay may dimensyon ng haba at tinatawag na katumbas na geometric (leveling), piezometric at velocity heights, at sa ika-2 - ang mga sukat ng presyon at ayon sa pagkakabanggit ay tinatawag na timbang, static at dynamic na presyon.

Sa pangkalahatang kaso, kapag ang fluid ay compressible (gas), ngunit barotropic, i.e., p sa loob nito ay nakasalalay lamang sa ρ, at kapag ang paggalaw nito ay nangyayari sa alinman ngunit potensyal na larangan ng volumetric (mass) na pwersa (tingnan ang Force field), ang Bernoulli's Ang equation ay nakuha bilang resulta ng Euler equation ng fluid mechanics at may anyo:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
kung saan ang P ay ang potensyal na enerhiya (potensyal) ng field ng lakas ng volumetric, na tinutukoy sa mga yunit. masa ng likido. Kapag ang mga gas ay dumadaloy, ang halaga ng P ay nagbabago nang kaunti kasama ang streamline, at maaari itong isama sa pare-pareho, na nagpapakita ng (3) sa anyo:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

Sa mga teknikal na aplikasyon, para sa daloy na na-average sa cross section ng isang channel, ang tinatawag na pangkalahatan Bernoulli equation: pinapanatili ang anyo ng mga equation (1) at (3), ang kaliwang bahagi ay kinabibilangan ng gawain ng mga puwersa ng friction at pagtagumpayan ng hydraulic resistance, pati na rin ang mekanikal na gawain ng isang likido o gas (ang gawain ng isang compressor o turbine ) na may kaukulang tanda. Ang pangkalahatang Bernoulli equation ay malawakang ginagamit sa haydrolika kapag kinakalkula ang daloy ng mga likido at gas sa mga pipeline at sa mechanical engineering kapag kinakalkula ang mga compressor, turbine, pump at iba pang hydraulic at gas machine.

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

Bernoulli equation (Bernoulli integral)

Batas ni Bernoulli ay isang kinahinatnan ng batas ng konserbasyon ng enerhiya para sa isang nakatigil na daloy ng isang ideal (iyon ay, nang walang panloob na alitan) hindi mapipigil na likido:

Densidad ng likido,

Daloy ng rate,

Ang taas kung saan matatagpuan ang fluid element na pinag-uusapan,

Ang presyon sa punto sa espasyo kung saan matatagpuan ang sentro ng masa ng fluid na elemento na isinasaalang-alang,

Pagpapabilis ng grabidad.

Ang pare-pareho sa kanang bahagi ay karaniwang tinatawag presyon, o kabuuang presyon, pati na rin integral ni Bernoulli. Ang sukat ng lahat ng mga termino ay ang yunit ng enerhiya sa bawat yunit ng dami ng likido.

Ang kaugnayang ito, na hinango ni Daniel Bernoulli noong 1738, ay ipinangalan sa kanya Ang equation ni Bernoulli. (Hindi dapat malito sa differential equation ni Bernoulli.)

Para sa pahalang na tubo h= 0 at ang equation ni Bernoulli ay nasa anyo: .

Ang form na ito ng equation ni Bernoulli ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagsasama ng Euler's equation para sa steady one-dimensional fluid flow, na may pare-parehong density ρ: .

Ayon sa batas ni Bernoulli, ang kabuuang presyon sa isang tuluy-tuloy na daloy ng likido ay nananatiling pare-pareho sa daloy.

Buong presyon binubuo ng hydrostatic (ρ gh), atmospheric (p) at dynamic na presyon.

Mula sa batas ni Bernoulli sumusunod na habang bumababa ang cross-section ng daloy, dahil sa pagtaas ng bilis, iyon ay, dynamic na presyon, bumababa ang static na presyon. Ito ang pangunahing dahilan para sa epekto ng Magnus. Ang batas ni Bernoulli ay may bisa din para sa mga daloy ng laminar gas. Ang kababalaghan ng pagbaba ng presyon na may pagtaas sa rate ng daloy ay sumasailalim sa pagpapatakbo ng iba't ibang uri ng mga flow meter (halimbawa, isang Venturi tube), tubig at steam jet pump.

Ang batas ni Bernoulli ay may bisa sa dalisay nitong anyo para lamang sa mga likido na ang lagkit ay zero, iyon ay, mga likidong hindi dumidikit sa ibabaw ng tubo. Sa katunayan, nai-eksperimentong itinatag na ang bilis ng isang likido sa ibabaw ng isang solid ay halos palaging eksaktong zero (maliban sa kaso ng jet separation sa ilalim ng ilang mga bihirang kondisyon).

Ang batas ni Bernoulli ay maaaring ilapat sa daloy ng isang perpektong incompressible na likido sa pamamagitan ng isang maliit na butas sa gilid ng dingding o ilalim ng isang malawak na sisidlan.

Ayon sa batas ni Bernoulli, tinutumbasan namin ang kabuuang presyon sa itaas na ibabaw ng likido at sa labasan mula sa butas:

p 0 - presyon ng atmospera,

h- taas ng likidong haligi sa sisidlan,

v- rate ng daloy ng likido.

Mula rito: . Ito ang formula ni Torricelli. Ipinapakita nito na kapag ang isang perpektong incompressible na likido ay umaagos mula sa isang butas sa isang malawak na sisidlan, ang likido ay nakakakuha ng bilis na makukuha ng isang katawan na malayang bumabagsak mula sa isang taas. h.

mga equation ng hydrodynamics - isang integral na tumutukoy sa presyon p sa bawat punto ng isang tuluy-tuloy na daloy ng isang perpektong homogenous na likido o barotropic gas sa pamamagitan ng bilis ng daloy sa kaukulang punto at sa pamamagitan ng function ng puwersa ng mga volumetric na pwersa: Constant May sariling halaga para sa bawat isa. streamline, nagbabago kapag lumilipat mula sa isang streamline patungo sa isa pa. Kung ang paggalaw ay potensyal, kung gayon ang pare-parehong C ay pareho para sa buong daloy. Para sa hindi matatag na paggalaw ng B. at. (minsan ay tinatawag na Cauchy-Lagrange integral) ay nagaganap sa pagkakaroon ng isang potensyal na bilis: at ito ay isang arbitrary na function ng oras. Para sa isang incompressible fluid, ang kaliwang bahagi ng mga equation (1), (2) ay binabawasan sa anyo; para sa barotropic gas - sa anyo: B. at. iminungkahi ni D. Bernoulli (1738). Lit.: Miln-Thomson L.M., Theoretical hydrodynamics, trans. mula sa English, M., 1964. L. N. Sretensky.

Tingnan ang halaga Bernoulli Integral sa ibang mga diksyunaryo

integral- M. Matematika. lat. isang may hangganan, masusukat na dami, na may kaugnayan sa isang infinitesimal na bahagi nito, sa isang kaugalian. calculus, ang sining ng paghahanap ng integral sa isang differential.........
Diksyunaryo ng Paliwanag ni Dahl

integral- integral, m. (mula sa Latin integer - buo) (mat.). Isang may hangganang masusukat na dami na may kaugnayan sa isang infinitesimal na bahagi nito - sa isang kaugalian.
Ushakov's Explanatory Dictionary

Integral M.— 1. Isang buong dami na isinasaalang-alang bilang kabuuan ng mga infinitesimal na bahagi nito.
Explanatory Dictionary ni Efremova

integral- [te], -a; m. [mula sa lat. integer - buo] Math. Isang dami na nagreresulta mula sa kabaligtaran ng pagkakaiba-iba.
◁ Integral, -aya, -oe. I-th calculus (seksyon ng matematika,........
Kuznetsov's Explanatory Dictionary

Bernoulli, Daniel— (Bernoulli, Daniel) (1700-1782) Swiss mathematician at natural scientist. Siya ay kabilang sa isang sikat na pamilya ng mga siyentipiko, na ang tagapagtatag na si Jacob Bernoulli ay isang katutubong ng Holland.........
Diksyonaryo ng ekonomiya

Prinsipyo ni Bernoulli- (D. Bernoulli, 1700-1782, Swiss scientist) ang panuntunan kung saan ang puwersa ng pag-urong ng kalamnan, ang iba pang mga bagay ay pantay, ay proporsyonal sa haba ng mga fibers ng kalamnan nito, ibig sabihin, ang antas ng..... .
Malaking medikal na diksyunaryo

Bernoulli— (Bernoulli) Daniel (1700-82), Swiss mathematician at physicist, miyembro ng isang sikat na pamilya ng mga mathematician. Sa kanyang mga gawa sa hydrodynamics ipinakita niya na ang presyon ng isang likido ay bumababa nang........

Batas ni Bernoulli— , para sa isang matatag na daloy (gas o likido), ang kabuuan ng presyon, kinetic energy bawat unit volume at potensyal na enerhiya bawat unit volume ay pare-pareho........
Pang-agham at teknikal na encyclopedic na diksyunaryo

integral- (pagtatalaga t). Isang mathematical na simbolo na ginagamit sa CALCULUS na kumakatawan sa operasyon ng pagsusuma. function na f(x), na isinulat bilang m f(x)dx, ay maaaring kumatawan sa lugar........
Pang-agham at teknikal na encyclopedic na diksyunaryo

Bernoulli- (Bernoulli) Johann (1667-1748) - dayuhang honorary member ng St. Petersburg Academy of Sciences (1725), kapatid ni Jacob. Gumagana sa calculus ng mga infinitesimal at ang calculus ng mga variation.

Teorem ni Bernoulli- isa sa mga limitasyon ng theorems ng probability theory; ang pinakasimpleng kaso ng batas ng malalaking numero, ay tumutukoy sa pamamahagi ng mga deviations sa dalas ng paglitaw ng ilang random......
Malaking encyclopedic dictionary

Bernoulli Equation— iniuugnay ang bilis at presyon sa isang daloy ng isang perpektong incompressible fluid sa tuluy-tuloy na daloy. nagpapahayag ng batas ng konserbasyon ng enerhiya ng isang gumagalaw na likido. Malawakang ginagamit sa.......
Malaking encyclopedic dictionary

integral- (mula sa Latin integer - buo) - tingnan ang calculus.
Malaking encyclopedic dictionary

Maramihang Integral— integral ng isang function ng ilang variable. Tinutukoy gamit ang integral sums, katulad ng definite integral ng isang function ng isang variable (tingnan ang Integral.........
Malaking encyclopedic dictionary

Curvilinear Integral— integral ng isang function na tinukoy sa anumang kurba sa isang eroplano o sa kalawakan. Maaari itong bawasan sa isang tiyak na integral, at sa ilalim ng ilang karagdagang kundisyon........
Malaking encyclopedic dictionary

Indefinite Integral
Malaking encyclopedic dictionary

Maling Integral— paglalahat ng konsepto ng integral sa kaso ng mga walang hangganang function at function na tinukoy sa isang walang katapusang integration interval.
Malaking encyclopedic dictionary

Tiyak na Integral— tingnan ang Integral calculus.
Malaking encyclopedic dictionary

Surface Integral ay ang integral ng isang function na tinukoy sa ilang surface. Sa ilalim ng ilang mga kundisyon maaari itong bawasan sa isang triple integral (Ostrogradsky formula).
Malaking encyclopedic dictionary

Bernoulli, Daniel— - Miyembro ng Academy of Sciences, mathematician at doktor, b. Enero 29, 1700 sa Groningen, Switzerland, d. Marso 17, 1782 sa Basel. Ang pamilyang Bernoulli ay nagmula sa Antwerp. Pagtakas sa relihiyoso.......

Bernoulli, Ivan— - kapatid ni Daniel Bernoulli, b. sa Basel Mayo 18, 1710, d. doon noong Hulyo 18, 1790. Sa kanyang kabataan, nag-aral siya ng abogasya sa Unibersidad ng Basel. Sa edad na 14 natanggap ko ang aking degree........
Malaking biographical encyclopedia

Bernoulli, Nikolai- - abogado at mathematician, anak ni Johann Bernoulli, b. Enero 27, 1695 sa Groningen o Basel, d. sa St. Petersburg noong Hulyo 29, 1726. Mula pagkabata, nakilala siya sa kanyang kasiglahan ng pag-iisip at namumukod-tanging........
Malaking biographical encyclopedia

Bernoulli, Jacob— - pamangkin ni Daniel Bernoulli, propesor ng matematika sa St. Petersburg, b. Oktubre 27, 1759 sa Basel, d. Hulyo 15, 1789 sa St. Petersburg. Matapos makapagtapos ng kurso sa Unibersidad ng Basel,........
Malaking biographical encyclopedia

Integral, Mikhail- nai-publish ang koleksyon.
Malaking biographical encyclopedia

Bernoulli- (Bernoulli) - Pamilyang Swiss. mga siyentipiko sa larangan ng musika. acoustics. Johann B. (17 VII 1667, Basel - 1 I 1748, ibid.) - may-akda ng pag-aaral na "Mga imbensyon sa larangan ng vibration ng tense chord" (“Erfindungen........
Music Encyclopedia

Bernoulli, Pamamahagi— Tingnan ang binomial distribution.
Sikolohikal na Encyclopedia

Bernoulli, Pagsubok- Anumang pagsubok o sitwasyon na may dalawang magkahiwalay at kumpletong posibleng resulta; halimbawa, ulo/buntot kapag naghahagis ng barya. Sa isang serye ng mga pagsubok sa Bernoulli........
Sikolohikal na Encyclopedia

Prinsipyo ni Bernoulli— (D. Bernoulli, 1700-1782, Swiss scientist)
ang panuntunan kung saan ang puwersa ng pag-urong ng kalamnan, ang iba pang mga bagay ay pantay, ay proporsyonal sa haba ng mga hibla ng kalamnan nito, ibig sabihin, ang antas......
Ensiklopedya sa medisina

Kailangan-integral- G. Murray term na ginamit upang makilala ang dinamikong pagsasama-sama ng mga pattern ng pag-uugali, kabilang ang mga landas, paggalaw, layunin at target na bagay ng isang tao.........
Sikolohikal na Encyclopedia

Pamamahagi ng Bernoulli— Tingnan ang pamamahagi, binomial.
Sikolohikal na Encyclopedia

integral ni Bernoulli.

Bigyan natin ng ibang anyo ang equation ng momentum. Para magawa ito, gagamitin namin ang kilalang vector analysis formula

paglalagay nito sa loob nito. Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay ay totoo

Gayunpaman, ang momentum equation ay kukuha ng anyo ng Gromeka–Lamb equation

(2.79)

Tulad ng makikita natin sa ibang pagkakataon, ang form na ito ng equation ay lubos na maginhawa para sa pagsusuri ng daloy ng isang perpektong likido.

Isaalang-alang muna natin ang kaso ng isang nakatigil na daloy, ibig sabihin, itakda , at i-multiply ang (2.48) nang scalar sa vector . Pagkatapos makuha namin

(2.80)

Dahil ang mga pwersang masa ay may potensyal na P, kung gayon

Sa parehong oras, hayaang magkaroon ng isang function ng presyon

Ang mga daloy kung saan ang density ay nakasalalay lamang sa presyon ay tinatawag na barotropic. Ang gradient ng function ay katumbas ng

ay maaaring ituring bilang isang vector ng volumetric na pagkilos ng mga puwersa sa ibabaw, at ang mismong pag-andar bilang potensyal ng volumetric na pagkilos ng mga puwersa sa ibabaw.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, (2.80) ay nagbibigay

Ang halaga sa panaklong ay tinatawag Bernoulli trinomial at tinutukoy bilang SA: .

Kaya, , kung saan nangangahulugang ang derivative na kinuha kasama ng streamline. Sinusundan nito iyon B=const o

(2.83)

Alalahanin na ang kaugnayan na ito ay wasto sa streamline. Kapag lumilipat mula sa isang kasalukuyang linya patungo sa isa pa, ang pare-pareho, sa prinsipyo, ay maaaring magbago. Ang pagkakapantay-pantay (2.83) ay magiging wasto sa buong rehiyon ng daloy kung , na posible para sa o para sa .

Ang pagkakapantay-pantay (2.83) ay tinatawag integral ni Bernoulli. Ang kaugnayan (2.83) ay madalas ding tinatawag Ang teorama ni Bernoulli (equation).

Sa fluid mechanics (at lalo na sa hydraulics), ang pinakakaraniwang kaso ay ang integral na Bernoulli para sa isang hindi mapipigil na likido. Ilagay natin ρ=const. Pagkatapos . Ipagpalagay namin na ang likido ay nasa ilalim lamang ng impluwensya ng grabidad, i.e. , Saan y– axis na nakadirekta patayo pataas. Kaya ang theorem ni Bernoulli ay tumatagal ng sumusunod na anyo:

(2.84)

Kung hahatiin natin ang lahat ng termino sa acceleration of gravity g at tukuyin ang pare-pareho sa pamamagitan ng N*, pagkatapos ay maaari tayong magsulat

, (2.85)

nasaan ang tiyak na gravity; N*– haydroliko na taas

at bigyan ang theorem ni Bernoulli ng klasikal na pagbabalangkas:

para sa nakatigil na paggalaw ng isang mabigat na perpektong incompressible na likido, ang haydroliko na taas N*, katumbas ng kabuuan ng bilis, piezometric at leveling sa taas, nananatiling pare-pareho sa anumang streamline (o vortex line).

Ang pagpapabaya sa gravity, ang teorama ni Bernoulli ay maaaring bigyan ng mas simpleng anyo:

(2.86)

Ang unang termino sa kaliwang bahagi ay tinatawag na piezometric pressure o static pressure, ang pangalawa ay tinatawag na velocity pressure o dynamic na presyon. Ang kanang bahagi ay kumakatawan sa kabuuang presyon ng ulo o pagwawalang-kilos.

Isaalang-alang natin ngayon ang adiabatic na daloy ng tubig sa loob ng balangkas ng isang walang timbang na ideal na likido. Alinsunod sa Tate equation na magkakaroon tayo

Gayunpaman, ang theorem ni Bernoulli para sa compressible na tubig ay magiging ganito:

(2.87)

Ipagpalagay natin na ang likido ay nakakakuha ng mga parameter sa punto kung saan ang bilis ay nagiging zero. Kung sa katotohanan ay walang ganoong punto, kung gayon maiisip ng isang tao ang haka-haka na paggalaw ng isang perpektong compressible fluid, na adiabatically nagpapabagal nito. Ang mga dami sa kasong ito ay tinatawag na pressure at stagnation density, ayon sa pagkakabanggit. Sa ilalim ng pagpapalagay na ito, ang equation (2.87) ay nasa anyo

(2.88)