Momenti tromosti presjeka grede. Centrifugalni moment tromosti Aksijalni moment tromosti kružnog presjeka
Momenti tromosti presjeka grede (grede, šipke), kao i površina poprečnog presjeka, jedna su od glavnih geometrijskih karakteristika elementa uključenog u proračun čvrstoće. Da vas podsjetim da je greda u čvrstoći materijala element čija je jedna od dimenzija duljina...
Znatno veći od druga dva - širine i visine. Posljednje dvije ukupne dimenzije plus oblik, uz svojstva materijala, utječu na karakteristike čvrstoće grede.
Geometrijske momente tromosti presjeka ne treba brkati s momentima tromosti tijela, iako im je značenje vrlo slično. Moment tromosti tijela oko određene osi je zbroj umnožaka mase elementarnih točaka “volumena” tijela kvadratom udaljenosti od osi do tih točaka. Moment tromosti presjeka (plosnate figure) je zbroj umnožaka područja elementarne "ravne" točke ovog presjeka u kvadrate udaljenosti od njih do osi koja se razmatra.
Formule za izračunavanje aksijalnih momenata tromosti, kao i polumjera tromosti i momenata otpora gotovo tridesetak elementarnih figura, od kojih se može sastaviti bilo koji presjek grede, mogu se preuzeti u poglavlju “Elementi otpornosti materijala” poglavlja br. 1 “Opće tehničke informacije” svezaka br. 1 “Priručnika za dizajnere” inženjer strojarstva" V.I. Anuriev. Ova trotomna referentna knjiga, koja je glavna referentna knjiga za nekoliko generacija inženjera strojarstva i doživjela je desetak ponovnih izdanja, i dalje je tražena i relevantna i danas. Mislim da bi ga svaki inženjer trebao imati, tim više što ga pronaći na internetu nije problem. Naravno, formule koje nas zanimaju mogu se pronaći u drugoj referentnoj literaturi.
Za I-grede, kanale, kutove, cijevi i druge valjane i savijene profile, koji se široko koriste u strojarstvu i građevinarstvu, geometrijske karakteristike presjeka, uključujući momente tromosti, mogu se naći u tablicama GOST-ova, OST-ova i drugih regulatornih dokumenata koji reguliraju njihovu proizvodnju.
Grede i šipke sastavljene od dva ili više elementarnih profila koriste se za povećanje čvrstoće i krutosti elemenata u nedostatku adekvatne zamjene jednim profilom u smislu težine i dimenzija. U praksi su to upareni uglovi, dvokraki stupovi, grede s pojasom ojačanim limenom i drugi slučajevi.
Geometrijske karakteristike kompozitnog presjeka. Izračun u Excelu.
U članku smo kao primjer razmotrili složenu figuru koja se sastoji od trokuta i pravokutnika s polukružnim izrezom. Nastavimo s ovim primjerom. Iako u praksi vjerojatno nikada nećete vidjeti gredu tako bizarnog presjeka, nama će dobro doći za jedan ne baš složen i ilustrativan primjer!
Pokrenite MS Excel ili OOo Calc i počnite!
Opća pravila za oblikovanje proračunskih tablica koje se koriste u člancima na blogu mogu se pronaći ovdje.
Iz gore navedenog članka već znamo koordinate težišta, površine elemenata poprečnog presjeka i površinu cijelog kompozitnog presjeka. U ovom članku ćemo nastaviti započeti posao i izračunati ostale geometrijske karakteristike.
Početni podaci:
Predmeti 1 , 2 , 3 kopirajte iz datoteke i ispunite raspon ćelija D3:F6.
4. Izračunajmo aksijalne i centrifugalne momente tromosti elemenata u odnosu na vlastite središnje osi Ixi , Iyi , Ixiyi u cm4, koristeći formule iz “Priručnika strojarskih dizajnera” V.I. Anurieva
u ćeliji D7: =80*40^3/12/10000 =42,667
Ix1 = a 1 *(b1 ^3)/12
u ćeliji D8: =40*80^3/12/10000 =170,667
Iy1 = b1 *(a1 ^3)/12
u ćeliji D9: =0 =0,000
Ix1 g1 = 0 (element s osnom simetrijom)
u ćeliji E7: =24*42^3/36/10000 =4,939
Ix2 = a 2 *(h 2 ^3)/36
u ćeliji E8: =42*24^3/48/10000 =1,210
Iy2 = h 2 *(a 2 ^3)/48
u ćeliji E9: =0 =0,000
Ix2 g2 = 0 (element s osnom simetrijom)
u ćeliji F7: =- (PI()/8*26^4-8/9/PI()*26^4)/10000=-5,016
Ix3 =- (π /8)*(r 3 ^4) — (8/(9* π ))*(r 3 ^4)
u ćeliji F8: =-PI()/8*26^4/10000 =-17,945
Iy3 =- (π /8)*(r 3 ^4)
u ćeliji F9: =0 =0,000
Ix3 g3 = 0 (element s osnom simetrijom)
Aksijalni momenti tromosti trećeg elementa - polukruga - su negativni jer je to isječak u pravokutniku - prazan prostor!
Proračun geometrijskih karakteristika:
Predmeti 5 , 6 , 7 kopirajte iz datoteke i ispunite kombinirane ćelije D11E11F11...D15E15F15.
8. Izračunajmo aksijalne i centrifugalne momente tromosti presjeka u odnosu na središnje osi x0 i y0 povučene kroz težište Ix 0 , Iy 0 , Ix0 g0 u cm4
u spojenoj ćeliji D16E16F16: =((D5-D15)^2*D6+(E5-D15)^2*E6+(F5-D15)^2*F6)/10000+D7+E7+F7=90,122
Ix0 = Σ ((yci — Yc )^2* Fi )+ ΣIxi
u spojenoj ćeliji D17E17F17: =((D4-D14)^2*D6+(E4-D14)^2*E6+(F4-D14)^2*F6)/10000+D8+E8+F8=159,678
Iy0 = Σ ((xci — Xc )^2* Fi )+ ΣIyi
u spojenoj ćeliji D18E18F18: =((D5-D15)*(D4-D14)*D6+(E5-D15)*(E4-D14)*E6+(F5-D15)*(F4-D14)*F6)/10000+D9+E9+F9=-50,372
Ix0y0 = Σ ((yci -Yc )*(xci -Xc )*Fi )+Σ Ixiyi
9. Izračunajmo glavne središnje momente tromosti presjeka IV I Iu u cm4
u spojenoj ćeliji D19E19F19: =($D$16+$D$17)/2+((($D$16-$D$17)/2)^2+$D$18^2)^0,5=186,111
Iv =(Ix0 +Iy0 )/2+(((Ix0 -Iy0 )/2)^2+Ix0y0 ^2)^0,5
u spojenoj ćeliji D20E20F20: =($D$16+$D$17)/2- ((($D$16-$D$17)/2)^2+$D$18^2)^0,5=63,689
Iu =(Ix0 +Iy0 )/2- (((Ix0 -Iy0 )/2)^2+Ix0y0 ^2)^0,5
10. Nađimo kut nagiba glavne osi v prema središnjoj osi x0 α u stupnjevima
u spojenoj ćeliji D21E21F21: =ATAN(D18/(D20-D16))/PI()*180=62,311
α =arctg (Ix0y0 /(Iu -Ix0 ))
11. I u zaključku, izračunavamo polumjere vrtnje kompozitnog presjeka iv I iu u mm
u spojenoj ćeliji D22E22F22: =(D19*10000/D11)^0,5 =26,540
iv =(IV / F 0 )^0,5
u spojenoj ćeliji D23E23F23: =(D20*10000/D11)^0,5 =15,526
iu =(Iu / F 0 )^0,5
Zadatak je obavljen - izračunati su momenti tromosti i polumjeri kružnog kretanja složenog presjeka od tri jednostavna elementa! Dobiveni su svi potrebni podaci za konstruiranje elipse tromosti.
Excel datoteka s programom za izračun omogućuje jednostavno izvođenje cjelovitog izračuna geometrijskih karakteristika poprečnog presjeka grede koja se sastoji od dva ili tri jednostavna elementa. Po potrebi je lako proširiti mogućnosti modula za izračun na veći broj elemenata.
Za primanje informacije o novim artiklima i za preuzimanje radnih programskih datoteka molimo pretplatite se za najave u prozoru koji se nalazi na kraju svakog članka ili u prozoru na vrhu stranice.
Ne zaboravi potvrditi pretplata klikom na poveznicu u pismu koje će vam odmah doći na navedenu poštu (može stići u mapu « Spam » )!!!
Sa zanimanjem ću pročitati vaše komentare, dragi čitatelji!!! Podijeli svoje misli!
preklinjem poštujući autorov rad preuzmite datoteku s programom za izračun nakon pretplate za najave članaka!
1. Aksijalni momenti tromosti oko međusobno okomitih osi x0y (koje se podudaraju sa stranicama trokuta) (Sl. 2.17).
Za određivanje momenta tromosti oko osi x Izaberimo elementarno područje u obliku trake infinitezimalne širine du, paralelno s osi x, na daljinu na od nje. Područje stranice
. Duljina trake po) utvrđujemo iz sličnosti trokuta s bazama po) I b,
gdje 
. Zatim 
. Zamjenjujući ovo omjer u izraz za Ix(2.21) i postavljanje granica integracije “0- h", dobivamo
.
Slično definirano ja y.
2. Centrifugalni moment tromosti oko osi x0y (poklapa se sa stranicama trokuta)
Centrifugalni moment tromosti, prema definiciji, jednak je
Koristimo istu elementarnu platformu kao i prije (vidi sliku 2.17). Kao koordinata x uzmimo koordinatu težišta elementarne platforme
.
Zamjenjujemo ovaj izraz, kao i formulu za dA pod integralom i integrirati u rasponu od 0 do h
Dakle, formule za momente tromosti presjeka u obliku pravokutnog trokuta, u odnosu na osi koje se podudaraju s nogama, imaju oblik
Imajte na umu da su za dio koji razmatramo od većeg interesa momenti tromosti oko središnjih osi (CO) paralelnih s krakovima trokuta.
3. Momenti tromosti oko međusobno okomitih središta x sa sy sa (paralelno sa stranicama trokuta)
Formule za momente tromosti pravokutnog trokuta oko osi x sa sy sa(vidi sl. 2.17) može se lako dobiti pomoću izraza (2.24), kao i teorema o paralelnoj translaciji osi, prema kojoj:
aksijalni momenti tromosti 
; 
;
centrifugalni moment tromosti 
.
Ovdje: A, e– koordinate težišta presjeka u koordinatnom sustavu x0y
Zamjenom ovih izraza, kao i relacija (2.24) u gornje formule, dobivamo
(2.25)
Imajte na umu da orijentacija presjeka u odnosu na osi utječe na predznak centrifugalnog momenta tromosti. Za usmjerenje koje se razmatra pokazalo se da<0. Действительно, на рис.2.17 видно, что большая часть сечения лежит в области с отрицательным произведением координат x´ na(druga i četvrta koordinatna četvrtina). To određuje negativni predznak rezultirajućeg centrifugalnog momenta tromosti. Ispod su dijagrami s različitim orijentacijama pravokutnog trokuta u odnosu na središta paralelna sa stranama za koje je označen znak.
Temeljni kolegij predavanja o čvrstoći materijala, teorija, praksa, zadaci.
1. Geometrijske karakteristike presjeka.1.3. Momenti tromosti jednostavnih presjeka.
1. Pravokutnik(Slika 1.5, a). Izračunajmo moment tromosti presjeka u odnosu na os X0 koja prolazi kroz težište paralelno s bazom.
Za dA uzimamo površinu beskonačno tankog sloja dA = bdy. Zatim 
Tako, 
(1.11)
Slično tome, dobivamo 
(1.12)
2. Krug(Slika 1.5,b). Najprije odredimo polarni moment tromosti u odnosu na središte kruga 
Za dA uzimamo površinu beskonačno tankog prstena debljine dp 
Zatim 
Stoga,
(1.13)
Sada možemo lako pronaći Ixo. Doista, za kružnicu, prema formuli (1.9.), vrijedi Ir = 2Iho = 2Iuo, odakle je
(1.14)
2. Prsten(Slika 1.5, c). Aksijalni moment tromosti u ovom slučaju jednak je razlici između momenata tromosti vanjskog i unutarnjeg kruga. 
(1.15)
gdje je c = d/D.
Slično, polarni moment tromosti 
(1.16)
2. Trokut(Slika 1.5,d). Odredimo moment tromosti oko osi x1 koja je paralelna s osnovicom i prolazi kroz vrh trokuta. 
Za dA uzimamo površinu beskonačno tankog trapezoida KBDE, čija se površina može smatrati jednakom površini pravokutnika:
DA = po dy,
Gdje je duljina pravokutnika.
Rezultat izračuna ne ovisi samo o površini poprečnog presjeka, stoga se pri rješavanju problema čvrstoće materijala ne može bez određivanja geometrijske karakteristike figura: statički, aksijalni, polarni i centrifugalni momenti tromosti. Obavezno je znati odrediti položaj težišta presjeka (navedene geometrijske karakteristike ovise o položaju težišta). Osim toga geometrijske karakteristike jednostavnih likova: pravokutnik, kvadrat, jednakokračni i pravokutni trokut, krug, polukrug. Označeni su težište i položaj glavnih središnjih osi te su određene geometrijske karakteristike u odnosu na njih, pod uvjetom da je materijal grede homogen.
Geometrijske karakteristike pravokutnika i kvadrata
Aksijalni momenti tromosti pravokutnika (kvadrata)
Geometrijske karakteristike pravokutnog trokuta
Osni momenti tromosti pravokutnog trokuta
Geometrijske karakteristike jednakokračnog trokuta
Osni momenti tromosti jednakokračnog trokuta
Učitavam...