Bernoulli denklemi(Bernoulli integrali) hidroaeromekanikte [[İsviçreli bilim adamı D. Bernoulli adına], hidromekaniğin temel denklemlerinden biri, sıkıştırılamaz ideal bir sıvının düzgün bir yerçekimi alanında sabit hareketi ile şu şekle sahiptir:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
v sıvının hızı, ρ yoğunluğu, p içindeki basınç, h sıvı parçacığın belirli bir yatay düzlem üzerindeki yüksekliği, g serbest düşme ivmesi, C sabit bir değerdir. her akış çizgisi, ancak genel durumda bir akış çizgisinden diğerine geçerken değeri değişir.

Denklem (1)'in sol tarafındaki ilk iki terimin toplamı toplam potansiyele, üçüncü terim ise kinetik enerjilere eşittir, birimlerle ifade edilir. sıvı kütleleri; bu nedenle, tüm denklem hareket eden bir sıvı için mekanik enerjinin korunumu yasasını ifade eder ve v, p ve h arasında önemli bir ilişki kurar. Örneğin, sabit bir h'de akış çizgisi boyunca akış hızı artarsa, basınç azalır ve bunun tersi de geçerlidir. Bu yasa, ölçüm tüpleri kullanılarak hız ölçülürken ve diğer aerodinamik ölçümlerde kullanılır.

Bernoulli denklemi ayrıca şu şekilde sunulur:
h + p/γ + v 2 /2g = C veya
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(burada γ =ρg, sıvının özgül ağırlığıdır). 1. eşitlikte, tüm terimler uzunluk boyutuna sahiptir ve karşılık gelen geometrik (tesviye), piezometrik ve hız yükseklikleri olarak adlandırılır ve 2. eşitlikte - basınç boyutları ve sırasıyla ağırlık, statik ve dinamik basınçlar olarak adlandırılır.

Genel durumda, sıvı sıkıştırılabilir (gaz) ancak barotropik olduğunda, yani içindeki p yalnızca ρ'ya bağlıdır ve hareketi hacimsel (kütle) kuvvetlerin potansiyel alanı dışında herhangi bir alanda meydana geldiğinde (bkz. Kuvvet alanı), Bernoulli denklemi, Euler hidromekanik denklemlerinin bir sonucu olarak elde edilir ve şu şekildedir:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
burada P, birimlerle ifade edilen vücut kuvvetleri alanının potansiyel enerjisidir (potansiyel). sıvı kütleleri. Gazların akışıyla, akış çizgisi boyunca P'nin değeri çok az değişir ve (3)'ü şu şekilde sunarak bir sabite dahil edilebilir:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

Teknik uygulamalarda, sözde kanalın enine kesiti üzerinden ortalama akış için. genelleştirilmiş Bernoulli denklemi: (1) ve (3) denklemlerinin şeklini koruyan sol taraf, sürtünme kuvvetlerinin işini ve hidrolik direncin üstesinden gelmenin yanı sıra bir sıvı veya gazın mekanik işini (bir kompresörün veya türbinlerin işi) içerir. ) ilgili işaret ile. Genelleştirilmiş Bernoulli denklemi, hidrolikte boru hatlarındaki sıvı ve gaz akışını hesaplarken ve makine mühendisliğinde kompresörleri, türbinleri, pompaları ve diğer hidrolik ve gaz makinelerini hesaplarken yaygın olarak kullanılır.

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

Bernoulli denklemi (Bernoulli integrali)

Bernoulli denklemi(Bernoulli integrali) hidroaeromekanikte [[İsviçreli bilim adamı D. Bernoulli adına], hidromekaniğin temel denklemlerinden biri, sıkıştırılamaz ideal bir sıvının düzgün bir yerçekimi alanında sabit hareketi ile şu şekle sahiptir:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
v sıvının hızı, ρ yoğunluğu, p içindeki basınç, h sıvı parçacığın belirli bir yatay düzlem üzerindeki yüksekliği, g serbest düşme ivmesi, C her akış çizgisinde sabit bir değerdir , ancak genel durumda bir akış çizgisinden diğerine geçerken değerini değiştiriyor.

Denklem (1)'in sol tarafındaki ilk iki terimin toplamı toplam potansiyele, üçüncü terim ise kinetik enerjilere eşittir, birimlerle ifade edilir. sıvı kütleleri; bu nedenle, tüm denklem hareket eden bir sıvı için mekanik enerjinin korunumu yasasını ifade eder ve v, p ve h arasında önemli bir ilişki kurar. Örneğin, sabit bir h'de akış çizgisi boyunca akış hızı artarsa, basınç azalır ve bunun tersi de geçerlidir. Bu yasa, ölçüm tüpleri kullanılarak hız ölçülürken ve diğer aerodinamik ölçümlerde kullanılır.

Bernoulli denklemi ayrıca şu şekilde sunulur:
h + p/γ + v 2 /2g = C veya
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(burada γ =ρg, sıvının özgül ağırlığıdır). 1. eşitlikte tüm terimler uzunluk boyutuna sahiptir ve karşılık gelen geometrik (tesviye), piezometrik ve hız yükseklikleri olarak adlandırılır ve 2. eşitlikte basınç boyutlarına sahiptir ve sırasıyla ağırlık, statik ve dinamik basınçlar olarak adlandırılır.

Genel durumda, sıvı sıkıştırılabilir (gaz) ancak barotropik olduğunda, yani içindeki p yalnızca ρ'ya bağlıdır ve hareketi hacimsel (kütle) kuvvetlerin potansiyel alanı dışında herhangi bir alanda meydana geldiğinde (bkz. Kuvvet alanı), Bernoulli denklemi, Euler hidromekanik denklemlerinin bir sonucu olarak elde edilir ve şu şekildedir:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
burada P, birimlerle ifade edilen vücut kuvvetleri alanının potansiyel enerjisidir (potansiyel). sıvı kütleleri. Gazların akışıyla, akış çizgisi boyunca P'nin değeri çok az değişir ve (3)'ü şu şekilde sunarak bir sabite dahil edilebilir:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

Teknik uygulamalarda, sözde kanalın enine kesiti üzerinden ortalama akış için. genelleştirilmiş Bernoulli denklemi: (1) ve (3) denklemlerinin şeklini koruyan sol taraf, sürtünme kuvvetlerinin işini ve hidrolik direncin üstesinden gelmenin yanı sıra bir sıvı veya gazın mekanik işini (bir kompresörün veya türbinlerin işi) içerir. ) ilgili işaret ile. Genelleştirilmiş Bernoulli denklemi, hidrolikte boru hatlarındaki sıvı ve gaz akışını hesaplarken ve makine mühendisliğinde kompresörleri, türbinleri, pompaları ve diğer hidrolik ve gaz makinelerini hesaplarken yaygın olarak kullanılır.

Bernoulli yasası ideal (yani iç sürtünmesiz) sıkıştırılamaz bir sıvının durağan akışı için enerjinin korunumu yasasının bir sonucudur:

sıvı yoğunluğu,

akış hızı,

Söz konusu akışkan elemanının bulunduğu yükseklik,

İncelenen akışkan elemanının kütle merkezinin bulunduğu uzaydaki noktadaki basınç,

Yerçekimi ivmesi.

Sağ taraftaki sabite genellikle denir basınç veya tam basınç ve ayrıca Bernoulli integrali. Tüm terimlerin boyutu, sıvının birim hacmi başına bir enerji birimidir.

Daniel Bernoulli tarafından 1738'de türetilen bu oran, onun adını almıştır. Bernoulli denklemi. (Bernoulli'nin diferansiyel denklemiyle karıştırılmamalıdır.)

yatay boru için H= 0 ve Bernoulli denklemi şu şekli alır: .

Bernoulli denkleminin bu formu, sabit bir ρ yoğunluğunda durağan tek boyutlu bir sıvı akışı için Euler denkleminin integrali alınarak elde edilebilir: .

Bernoulli yasasına göre, sürekli bir sıvı akışındaki toplam basınç, bu akış boyunca sabit kalır.

Tam basınç hidrostatikten oluşur (ρ gh), atmosferik (p) ve dinamik basınç.

Bernoulli yasasından, hızdaki, yani dinamik basınçtaki artış nedeniyle akış kesiti azaldıkça statik basıncın azaldığı sonucu çıkar. Magnus etkisinin ana nedeni budur. Bernoulli yasası, laminer gaz akışları için de geçerlidir. Akış hızında bir artış ile basınçta bir azalma olgusu, çeşitli akış ölçer türlerinin (örneğin bir Venturi tüpü), su ve buhar jet pompalarının çalışmasının temelini oluşturur.

Bernoulli yasası saf haliyle sadece viskozitesi sıfır olan yani boru yüzeyine yapışmayan sıvılar için geçerlidir. Aslında, katı bir cismin yüzeyindeki bir sıvının hızının neredeyse her zaman tam olarak sıfır olduğu deneysel olarak kanıtlanmıştır (belirli nadir koşullar altında jet ayrışması durumları hariç).

Bernoulli yasası, ideal bir sıkıştırılamaz sıvının yan duvardaki küçük bir delikten veya geniş bir kabın tabanından akışına uygulanabilir.

Bernoulli yasasına göre, sıvının üst yüzeyindeki ve delikten çıkıştaki toplam basınçları eşitliyoruz:

,

P 0 - atmosferik basınç,

H kaptaki sıvı kolonunun yüksekliği,

v- sıvı akış hızı.

Buradan: . Bu Torricelli formülüdür. İdeal bir sıkıştırılamaz sıvı geniş bir kaptaki bir delikten dışarı aktığında, sıvının yüksekten serbestçe düşen bir cisim tarafından alınabilecek bir hız kazandığını gösterir. H.

hidrodinamiğin denklemleri - ideal bir homojen sıvı veya barotropik gazın sabit akışının her noktasındaki basıncı p, karşılık gelen noktadaki akış hızı ve vücut kuvvetlerinin kuvvet fonksiyonu aracılığıyla belirleyen bir integral: Hareket potansiyel ise, tüm akış için C sabiti aynıdır. Kararsız hareket için B. ve. (bazen Cauchy-Lagrange integrali olarak adlandırılır) bir hız potansiyeli varlığında gerçekleşir ve zamanın keyfi bir fonksiyonudur. Sıkıştırılamaz bir akışkan için (1), (2) denklemlerinin sol tarafı şu şekle indirgenir; barotropik gaz için - forma: B. ve. D. Bernoulli (D. Bernoulli, 1738) tarafından önerilmiştir. Kaynak: Mil n-Thomson L. M., Teorik hidrodinamik, çev. İngilizceden., M., 1964. L. N. Sretensky.

İzleme değeri Bernoulli integrali diğer sözlüklerde

ayrılmaz- m.matematik. lat. sonlu, ölçülebilir değer, sonsuz küçük parçasına, diferansiyele göre. kalkülüs, diferansiyel üzerinden integral bulma sanatı.......
Dahl'ın Açıklayıcı Sözlüğü

ayrılmaz- integral, m (Latince'den. tamsayı - tam) (mat.). Sonsuz küçük parçasına göre sonlu ölçülebilir bir nicelik - diferansiyel.
Ushakov'un Açıklayıcı Sözlüğü

entegre M.— 1. Sonsuz küçük parçalarının toplamı olarak kabul edilen bir tam sayı.
Efremova'nın Açıklayıcı Sözlüğü

ayrılmaz- [çay; m [lat. tamsayı - tam] Matematik. Farklılaşmanın tersinden kaynaklanan miktar.
◁ İntegral, -th, -th. I-th hesabı (matematik bölümü, ........
Kuznetsov'un Açıklayıcı Sözlüğü

Bernoulli, Daniel— (Bernoulli, Daniel) (1700-1782) İsviçreli matematikçi ve doğa bilimci. O, kurucusu Jacob Bernoulli'nin Hollanda yerlisi olduğu ünlü bir bilim insanı ailesine aitti.
ekonomik sözlük

Bernoulli İlkesi- (D. Bernoulli, 1700-1782, İsviçreli bilim adamı) kas kasılma kuvvetinin, ceteris paribus'un kas liflerinin uzunluğu, yani derecesi ile orantılı olduğu kural ........
Büyük Tıp Sözlüğü

bernoulli— (Bernoulli) Daniel (1700-82), İsviçreli matematikçi ve fizikçi, ünlü bir matematikçi ailesinin üyesi. Hidrodinamik üzerine yaptığı çalışmalarda, bir sıvının basıncının ........ ile azaldığını göstermiştir.

Bernoulli yasası- , kararlı bir akım akışı için (gaz veya sıvı), basınç toplamı, birim hacim başına kinetik enerji ve birim hacim başına potansiyel enerji sabittir ........
Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük

ayrılmaz- (atama t). CALCULUS'ta toplama işlemini temsil eden matematiksel sembol. t f(x)dx olarak yazılan f(x) fonksiyonu alanı temsil edebilir........
Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük

bernoulli- (Bernoulli) Johann (1667-1748) - Jacob'ın erkek kardeşi olan Petersburg Bilimler Akademisi'nin (1725) yabancı fahri üyesi. Sonsuz küçükler hesabı ve varyasyon hesabı üzerine çalışmalar.

Bernoulli Teoremi- olasılık teorisinin sınırlayıcı teoremlerinden biri; büyük sayılar yasasının en basit durumu, bazı rastgele olayların meydana gelme sıklığındaki sapmaların dağılımını ifade eder ........
Büyük ansiklopedik sözlük

Bernoulli Denklemi- sabit akışta sıkıştırılamaz ideal bir sıvının akışındaki hız ve basıncı ilişkilendirir. Hareket eden bir sıvının enerjisinin korunumu yasasını ifade eder. Yaygın olarak kullanılan ...
Büyük ansiklopedik sözlük

ayrılmaz- (lat. tamsayıdan - tam) - bkz. hesap.
Büyük ansiklopedik sözlük

Çoklu İntegralçok değişkenli bir fonksiyonun integralidir. Tek değişkenli bir fonksiyonun belirli integraline benzer şekilde, integral toplamlar kullanılarak belirlenir (bkz. İntegral ........
Büyük ansiklopedik sözlük

Eğrisel İntegral düzlemde veya uzayda bir eğri boyunca verilen bir fonksiyonun integralidir. Belirli bir integrale indirgenebilir ve bazı ek koşullar altında......
Büyük ansiklopedik sözlük

belirsiz integral
Büyük ansiklopedik sözlük

uygun olmayan integral- integral kavramının sınırsız fonksiyonlar ve sonsuz bir entegrasyon aralığında tanımlanan fonksiyonlar durumuna genelleştirilmesi.
Büyük ansiklopedik sözlük

Kesin integral- bkz. İntegral hesap.
Büyük ansiklopedik sözlük

Yüzey İntegrali bazı yüzeylerde tanımlanan bir fonksiyonun integralidir. Belirli koşullar altında, üçlü bir integrale (Ostrogradsky formülü) indirgenebilir.
Büyük ansiklopedik sözlük

Bernoulli, Daniel- - Bilimler Akademisi üyesi, matematikçi ve doktor, b. 29 Ocak 1700, Groningen, İsviçre, ö. 17 Mart 1782, Basel Bernoulli ailesi Antwerp'ten geliyor. Dinden kaçmak...

Bernoulli, İvan- - Daniel Bernoulli'nin erkek kardeşi, b. Basel'de, 18 Mayıs 1710, ö. age 18 Temmuz 1790 Gençliğinde Basel Üniversitesi'nde hukuk okudu. 14 yaşında diploma aldı ........
Büyük biyografik ansiklopedi

Bernoulli, Nicholas- - avukat ve matematikçi, Johann Bernoulli'nin oğlu, b. 27 Ocak 1695, Gröningen veya Basel, ö. 29 Temmuz 1726'da St.Petersburg'da. Çocukluğundan beri, canlı bir zihin ve olağanüstü ........
Büyük biyografik ansiklopedi

Bernoulli, Yakup- - St. Petersburg'da matematik profesörü olan Daniil Bernoulli'nin yeğeni, b. 27 Ekim 1759, Basel, ö. 15 Temmuz 1789, St.Petersburg'da. Basel Üniversitesi'nden mezun olduktan sonra...
Büyük biyografik ansiklopedi

ayrılmaz, michael- koleksiyonu yayınladı.
Büyük biyografik ansiklopedi

bernoulli- (Bernoulli) - İsviçreli bir aile. müzik alanında akademisyenler. akustik. Johann B. (17 VII 1667, Basel - 1 I 1748, age) - "Gerilmiş akorların titreşimleri alanındaki icatlar" ("Erfindungen ........
Müzik Ansiklopedisi

Bernoulli, Dağıtım— Binom dağılımına bakın.
Psikolojik Ansiklopedi

Bernoulli, Test Karşılıklı olarak birbirini dışlayan ve ayrıntılı iki olası sonuca sahip herhangi bir test veya durum; örneğin yazı tura atıldığında tura/yazı gelir. Bir dizi Bernoulli testinde...
Psikolojik Ansiklopedi

Bernoulli İlkesi- (D. Bernoulli, 1700-1782, İsviçreli bilim adamı)
ceteris paribus kas kasılma kuvvetinin kas liflerinin uzunluğuyla, yani ........ derecesi ile orantılı olduğu kural
Tıbbi Ansiklopedi

İhtiyaç ayrılmaz- G. Murray'in bir kişinin yolları, hareketleri, hedefleri ve hedef nesneleri dahil olmak üzere davranış kalıplarının dinamik entegrasyonunu karakterize etmek için kullanılan terimi .........
Psikolojik Ansiklopedi

Bernoulli dağılımı— Bakınız dağıtım, iki terimli.
Psikolojik Ansiklopedi

Bernoulli integrali.

Momentum denklemine farklı bir form verelim. Bunu yapmak için iyi bilinen vektör analiz formülünü kullanıyoruz.

içine koyarak. Bu nedenle, eşitlik

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, momentum denklemi Gromeka-Lamb denklemi şeklini alacak

(2.79)

Daha sonra göreceğimiz gibi, denklemin bu şekli ideal bir sıvının akışını analiz etmek için son derece uygundur.

Önce durağan bir akış durumunu ele alalım, yani, (2.48)'i skaler olarak vektör ile çarpalım. Sonra alırız

(2.80)

Vücut kuvvetleri potansiyel bir P'ye sahip olduğundan, o zaman

Ancak, bir basınç fonksiyonu olsun

Yoğunluğun sadece basınca bağlı olduğu akışlara barotropik denir. İşlev gradyanı şuna eşittir:

yüzey kuvvetlerinin hacim etkisinin bir vektörü olarak düşünülebilir ve işlevin kendisi şu şekildedir: yüzey kuvvetlerinin hacim aksiyon potansiyeli.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, (2.80) verir

parantez içindeki miktara denir Bernoulli üçlüsü ve olarak gösterilir İÇİNDE: .

Bu yüzden, , akış çizgisi boyunca alınan türevi gösterir. Dolayısıyla bunu takip eder B=sabit veya

(2.83)

Bu ilişkinin akış çizgisi boyunca geçerli olduğunu hatırlayın. Bir akış çizgisinden diğerine geçerken, sabit prensip olarak değişebilir. Eşitlik (2.83), veya 'de mümkün ise, tüm akış bölgesi boyunca geçerli olacaktır.

Eşitlik (2.83) denir Bernoulli integrali. İlişki (2.83) genellikle aynı zamanda teorem (denklem) Bernoulli.

Hidromekanikte (ve özellikle hidrolikte), en yaygın durum, sıkıştırılamaz bir sıvı için Bernoulli integralidir. koyalım ρ=sabit. Daha sonra . Sıvının yalnızca yerçekimi etkisi altında olduğunu varsayacağız, yani. , Nerede y- dikey olarak yukarı doğru yönlendirilmiş eksen. Böylece, Bernoulli'nin teoremi aşağıdaki formu alır:

(2.84)

Tüm terimleri yerçekimi ivmesine bölersek G ve sabiti şu şekilde gösterir: H*, o zaman yazabilirsin

, (2.85)

özgül ağırlık nerede; N*– hidrolik yükseklik

ve Bernoulli'nin teoremine klasik formülasyonu verin:

ağır ideal sıkıştırılamaz sıvının durağan hareketinde, hidrolik yükseklik N*, yüksek hız , piyezometrik ve tesviye toplamına eşittir de yükseklik, herhangi bir akış çizgisi (veya girdap çizgisi) boyunca sabit kalır.

Yerçekimi kuvvetlerini ihmal ederek, Bernoulli teoremine daha basit bir şekil verilebilir:

(2.86)

Sol tarafın ilk elemanı piezometrik yük veya statik basınç, ikinci terim ise hız yükü veya dinamik basınç olarak adlandırılır. Sağ taraf toplam basma yüksekliği veya frenleme basıncını temsil eder.

Şimdi suyun adyabatik akışını ağırlıksız ideal bir akışkan çerçevesinde ele alalım. Tate denklemine göre, sahip olacağız

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, Bernoulli'nin sıkıştırılabilir su teoremi şöyle görünür:

(2.87)

Sıvının, hızın kaybolduğu noktada parametreler kazandığını varsayalım. Gerçekte böyle bir nokta yoksa, ideal bir sıkıştırılabilir sıvının adyabatik olarak yavaşlattığı hayali hareketi hayal edilebilir. Miktarlar ve bu durumda sırasıyla basınç ve durgunluk yoğunluğu olarak adlandırılır. Yapılan varsayım altında, denklem (2.87) şu şekli alır:

(2.88)

Bernoulli integrali. - kavram ve türleri. "Bernoulli integrali" kategorisinin sınıflandırılması ve özellikleri. 2017, 2018.