Kako podijeliti decimalne razlomke prirodnim brojevima. Dijeljenje decimala: pravila, primjeri, rješenja

Pronađite prvu znamenku količnika (rezultata dijeljenja). Da biste to učinili, podijelite prvu znamenku dividende s djeliteljem. Ispod djelitelja napiši rezultat.

U našem primjeru, prva znamenka dividende je 3. Podijelite 3 s 12. Budući da je 3 manje od 12, rezultat dijeljenja će biti 0. Napišite 0 ispod djelitelja - ovo je prva znamenka količnika.

Dobiveni rezultat pomnožite s djeliteljem. Rezultat množenja zapišite ispod prve znamenke djelitelja, budući da je to znamenka koju ste upravo podijelili djeliteljem.

U našem primjeru, 0 × 12 = 0, pa napišite 0 ispod 3.

Oduzmite rezultat množenja od prve znamenke dividende. Odgovor napišite u novi red.

U našem primjeru: 3 - 0 = 3. Napišite 3 neposredno ispod 0.

Pomaknite drugu znamenku dividende prema dolje. Da biste to učinili, zapišite sljedeću znamenku dividende pored rezultata oduzimanja.

U našem primjeru, dividenda je 30. Druga znamenka dividende je 0. Pomaknite je prema dolje upisujući 0 pored 3 (rezultat oduzimanja). Dobit ćete broj 30.

Rezultat podijelite s djeliteljem. Naći ćete drugu znamenku količnika. Da biste to učinili, podijelite broj koji se nalazi u donjem retku s djeliteljem.

U našem primjeru, podijelite 30 s 12. 30 ÷ 12 = 2 plus neki ostatak (budući da je 12 x 2 = 24). Napišite 2 iza 0 ispod djelitelja - ovo je druga znamenka količnika.
Ako ne možete pronaći odgovarajuću znamenku, prođite kroz znamenke sve dok rezultat množenja znamenke djeliteljem ne bude manji i najbliži broju koji se nalazi zadnji u stupcu. U našem primjeru razmotrite broj 3. Pomnožite ga s djeliteljem: 12 x 3 = 36. Budući da je 36 veće od 30, broj 3 nije prikladan. Sada razmotrite broj 2. 12 x 2 = 24. 24 je manje od 30, tako da je broj 2 ispravno rješenje.

Ponovite gornje korake da pronađete sljedeći broj. Opisani algoritam koristi se u svakom problemu dugog dijeljenja.

Pomnožite drugu znamenku kvocijenta s djeliteljem: 2 x 12 = 24.
Ispod posljednjeg broja u stupcu (30) upišite rezultat množenja (24).
Oduzmite manji broj od većeg. U našem primjeru: 30 - 24 = 6. Rezultat (6) upišite u novi red.

Ako su u dividendi ostale znamenke koje se mogu pomaknuti prema dolje, nastavite s postupkom izračuna. U suprotnom, prijeđite na sljedeći korak.

U našem primjeru pomaknuli ste zadnju znamenku dividende prema dolje (0). Stoga prijeđite na sljedeći korak.

Ako je potrebno, upotrijebite decimalni zarez za povećanje dividende. Ako je dividenda djeljiva djeliteljem, tada ćete u zadnjem retku dobiti broj 0. To znači da je zadatak riješen, a odgovor (u obliku cijelog broja) je upisan ispod djelitelja. Ali ako se na samom dnu stupca nalazi bilo koja brojka osim 0, potrebno je proširiti dividendu dodavanjem decimalne točke i dodavanjem 0. Podsjetimo, to ne mijenja vrijednost dividende.

U našem primjeru zadnji redak sadrži broj 6. Dakle, desno od 30 (dividenda) upišite decimalnu točku, a potom 0. Također stavite decimalnu točku iza pronađenih znamenki kvocijenta koji ste pisati ispod djelitelja (ne pisati još ništa iza ovog zareza!) .

Ponovite gore opisane korake kako biste pronašli sljedeći broj. Glavna stvar je ne zaboraviti staviti decimalnu točku i nakon dividende i nakon pronađenih znamenki količnika. Ostatak postupka sličan je gore opisanom procesu.

U našem primjeru, pomaknite 0 prema dolje (koju ste napisali nakon decimalne točke). Dobit ćete broj 60. Sada podijelite ovaj broj s djeliteljem: 60 ÷ 12 = 5. Napišite 5 iza 2 (i nakon decimalne točke) ispod djelitelja. Ovo je treća znamenka kvocijenta. Dakle, konačni odgovor je 2,5 (nula prije 2 može se zanemariti).

Pravilo dijeljenja decimalnih razlomaka prirodnim brojevima.

Četiri identične igračke koštaju ukupno 921 rublju 20 kopejki. Koliko košta jedna igračka (vidi sliku 1)?

Riža. 1. Ilustracija za problem

Riješenje

Da biste saznali cijenu jedne igračke, morate taj iznos podijeliti s četiri. Pretvorimo iznos u kopejke:

Odgovor: cijena jedne igračke je 23 030 kopejki, odnosno 230 rubalja 30 kopejki, odnosno 230,3 rublja.

Ovaj problem možete riješiti bez pretvaranja rubalja u kopejke, odnosno dijeljenja decimalnog razlomka s prirodni broj: .

Da biste podijelili decimalni razlomak prirodnim brojem, potrebno je taj razlomak podijeliti s tim brojem, kao što se dijele prirodni brojevi, a kada završite dijeljenje cijelog dijela, u količniku staviti zarez.

Dijelimo u stupac na isti način kao što se dijele prirodni brojevi. Nakon što izbacimo broj 2 (broj desetinki je prva znamenka iza decimalne točke u dividendi 921,20), stavimo zarez u kvocijent i nastavimo dijeljenje:

Odgovor: 230,3 rubalja.

Dijelimo u stupac na isti način kao što se dijele prirodni brojevi. Nakon što izbacimo broj 6 (broj desetinki je broj iza decimalne točke u zapisu dividende 437,6), stavimo zarez u kvocijent i nastavimo dijeljenje:

Ako je dividenda manja od djelitelja, tada će kvocijent početi od nule.

1 nije djeljiv s 19, pa u kvocijent stavljamo nulu. Dijeljenje cijelog dijela je završeno, u kvocijent stavljamo zarez. Skinemo 7. 17 nije djeljivo sa 19, u kvocijent upišemo nulu. Skidamo 6 i nastavljamo dijeljenje:

Dijelimo kao što se dijele prirodni brojevi. U kvocijentu stavljamo zarez čim uklonimo 8 - prvu znamenku iza decimalne točke u dividendi 74,8. Nastavljamo podjelu dalje. Kod oduzimanja dobijemo 8, ali dijeljenje nije dovršeno. To znamo na kraju decimal Možete dodati nule - to neće promijeniti vrijednost razlomka. Dodijelimo nulu i podijelimo 80 s 10. Dobijemo 8 - dijeljenje je gotovo.

Da biste decimalni razlomak podijelili s 10, 100, 1000 itd., morate decimalnu točku u tom razlomku pomaknuti za onoliko znamenki ulijevo koliko ima nula iza jedinice u djelitelju.

U ovoj smo lekciji naučili kako podijeliti decimalni razlomak prirodnim brojem. Razmotrili smo opciju s običnim prirodnim brojem, kao i opciju u kojoj se dijeljenje događa znamenkastom jedinicom (10, 100, 1000 itd.).

Riješite jednadžbe:

Da biste pronašli nepoznati djelitelj, trebate podijeliti dividendu s količnikom. To je .

Dijelimo se u kolonu. Nakon što izbacimo broj 4 (broj desetinki je prva znamenka iza decimalne točke u dividendi 134,4), u kvocijent stavimo zarez i nastavimo dijeljenje:

ja Da biste podijelili decimalni razlomak prirodnim brojem, potrebno je taj razlomak podijeliti s tim brojem, kao što se dijele prirodni brojevi, a kada završite dijeljenje cijelog dijela, u količniku staviti zarez.

Primjeri.

Izvršite dijeljenje: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.

Riješenje.

Primjer 1) 96,25: 5.

Dijelimo “kutom” na isti način kao što se dijele prirodni brojevi. Nakon što skinemo broj 2 (broj desetina je prva znamenka iza decimalne točke u dividendi 96, 2 5), u količniku stavimo zarez i nastavimo dijeljenje.

Odgovor: 19,25.

Primjer 2) 4,78: 4.

Dijelimo kao što se dijele prirodni brojevi. U količniku ćemo staviti zarez čim ga maknemo 7 — prva znamenka nakon decimalne točke u dividendi 4, 7 8. Nastavljamo podjelu dalje. Oduzimanjem 38-36 dobijemo 2, ali dijeljenje nije dovršeno. Kako ćemo nastaviti? Znamo da se nule mogu dodati na kraj decimalnog razlomka - to neće promijeniti vrijednost razlomka. Dodijelimo nulu i podijelimo 20 sa 4. Dobijemo 5 - dijeljenje je gotovo.

Odgovor: 1,195.

Primjer 3) 183,06: 45.

Podijelite kao 18306 sa 45. U kvocijent stavljamo zarez čim izbacimo broj 0 — prva znamenka nakon decimalne točke u dividendi 183, 0 6. Kao u primjeru 2), morali smo broju 36 pripisati nulu - razliku između brojeva 306 i 270.

Odgovor: 4,068.

Zaključak: kod dijeljenja decimalnog razlomka prirodnim brojem u privatni stavljamo zarez odmah nakon što skinemo brojku na desetom mjestu dividende. Napomena: sve istaknuto brojevi u crvenoj boji u ova tri primjera pripadaju kategoriji desetine dividende.

II. Da biste podijelili decimalni razlomak s 10, 100, 1000 itd., trebate pomaknuti decimalni zarez ulijevo za 1, 2, 3 itd. znamenke.

Primjeri.

Izvršite dijeljenje: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.

Riješenje.

Pomicanje decimalne točke ulijevo ovisi o tome koliko nula iza jedinice ima djelitelj. Dakle, kada dijelimo decimalni razlomak sa 10 prenijet ćemo u dividendu zarez lijevo jedna znamenka; kada se podijeli sa 100 - pomakni zarez lijevo dvije znamenke; kada se podijeli sa 1000 pretvoriti u ovaj decimalni razlomak zarez tri znamenke ulijevo.

Pogledajmo primjere dijeljenja decimala u ovom svjetlu.

Primjer.

Podijelite decimalni razlomak 1,2 s decimalnim razlomkom 0,48.

Riješenje.

Odgovor:

1,2:0,48=2,5 .

Primjer.

Podijelite periodični decimalni razlomak 0.(504) s decimalnim razlomkom 0,56.

Riješenje.

Pretvorimo periodični decimalni razlomak u obični razlomak: . Konačni decimalni razlomak 0,56 također pretvaramo u obični razlomak, imamo 0,56 = 56/100. Sada možemo prijeći s dijeljenja izvornih decimalnih razlomaka na dijeljenje običnih razlomaka i završiti izračune: .

Primljeno ćemo prevesti obični razlomak na decimalni razlomak dijeljenjem brojnika s nazivnikom stupcem:

Odgovor:

0,(504):0,56=0,(900) .

Princip dijeljenja beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka razlikuje se od principa dijeljenja konačnih i periodičnih decimalnih razlomaka, budući da se neperiodični decimalni razlomci ne mogu pretvoriti u obične razlomke. Dijeljenje beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka svodi se na dijeljenje konačnih decimalnih razlomaka, za koje provodimo zaokruživanje brojeva do određene razine. Štoviše, ako je jedan od brojeva s kojima se provodi dijeljenje konačni ili periodični decimalni razlomak, tada se također zaokružuje na istu znamenku kao i neperiodični decimalni razlomak.

Primjer.

Podijelite beskonačnu neperiodičnu decimalu 0,779... s konačnom decimalom 1,5602.

Riješenje.

Prvo trebate zaokružiti decimale tako da možete prijeći s dijeljenja beskonačnih neperiodičnih decimala na dijeljenje konačnih decimala. Možemo zaokružiti na najbližu stotinku: 0,779…≈0,78 i 1,5602≈1,56. Dakle, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .

Odgovor:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Dijeljenje prirodnog broja decimalnim razlomkom i obrnuto

Suština pristupa dijeljenju prirodnog broja decimalnim razlomkom i dijeljenja decimalnog razlomka prirodnim brojem ne razlikuje se od suštine dijeljenja decimalnih razlomaka. Odnosno, konačni i periodični razlomci zamijenjeni su običnim razlomcima, a beskonačni neperiodični razlomci su zaokruženi.

Za ilustraciju razmotrimo primjer dijeljenja decimalnog razlomka prirodnim brojem.

Primjer.

Decimalni razlomak 25,5 podijelimo s prirodnim brojem 45.

Riješenje.

Zamjenom decimalnog razlomka 25,5 običnim razlomkom 255/10=51/2 dijeljenje se svodi na dijeljenje običnog razlomka prirodnim brojem:. Rezultirajuća frakcija u decimalni zapis ima oblik 0.5(6) .

Odgovor:

25,5:45=0,5(6) .

Dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem stupcem

Konačne decimalne razlomke zgodno je dijeliti na prirodne brojeve stupcem, po analogiji s dijeljenjem stupcem prirodnih brojeva. Predstavimo pravilo dijeljenja.

Do podijeliti decimalni razlomak prirodnim brojem pomoću stupca, potrebno:

dodajte nekoliko znamenki 0 desno od decimalnog ulomka koji se dijeli (tijekom procesa dijeljenja, ako je potrebno, možete dodati bilo koji broj nula, ali te nule možda neće biti potrebne);
izvoditi dijeljenje stupcem decimalnog razlomka s prirodnim brojem prema svim pravilima dijeljenja stupcem prirodnih brojeva, ali kada je završeno dijeljenje cijelog dijela decimalnog razlomka, tada u kvocijent treba staviti zarez i nastavi dijeljenje.

Recimo odmah da kao rezultat dijeljenja konačnog decimalnog ulomka prirodnim brojem možete dobiti ili konačni decimalni ulomak ili beskonačni periodični decimalni ulomak. Doista, nakon što se dovrši dijeljenje svih decimalnih mjesta koja nisu 0 razlomka koji se dijeli, ili ostatak može biti 0, i dobit ćemo konačni decimalni razlomak, ili će se ostaci početi periodički ponavljati, i dobit ćemo periodični decimalni razlomak.

Razumimo sve zamršenosti dijeljenja decimalnih ulomaka prirodnim brojevima u stupcu pri rješavanju primjera.

Primjer.

Podijelite decimalni razlomak 65,14 sa 4.

Riješenje.

Podijelimo decimalni razlomak prirodnim brojem pomoću stupca. Dodajmo par nula desno u zapisu razlomka 65.14 i dobit ćemo jednak decimalni razlomak 65.1400 (vidi jednaki i nejednaki decimalni razlomci). Sada možete početi dijeliti stupcem cjelobrojni dio decimalnog razlomka 65.1400 s prirodnim brojem 4:

Time je dovršeno dijeljenje cjelobrojnog dijela decimalnog razlomka. Ovdje u količniku trebate staviti decimalnu točku i nastaviti dijeljenje:

Dosegli smo ostatak od 0, u ovoj fazi završava dijeljenje po stupcu. Kao rezultat, imamo 65,14:4=16,285.

Odgovor:

65,14:4=16,285 .

Primjer.

Podijelite 164,5 sa 27.

Riješenje.

Podijelimo decimalni razlomak prirodnim brojem pomoću stupca. Nakon dijeljenja cijelog dijela dobivamo sljedeću sliku:

Sada stavljamo zarez u kvocijent i nastavljamo dijeljenje stupcem:

Sada je jasno vidljivo da su se ostaci 25, 7 i 16 počeli ponavljati, dok se u kvocijentu ponavljaju brojevi 9, 2 i 5. Dakle, dijeljenjem decimalnog broja 164,5 s 27 dobivamo periodički decimalni broj 6,0(925) .

Odgovor:

164,5:27=6,0(925) .

Podjela decimalnih razlomaka u stupac

Dijeljenje decimalnog razlomka decimalnim razlomkom može se svesti na dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem sa stupcem. Da biste to učinili, dividenda i djelitelj moraju se pomnožiti s takvim brojem kao što je 10, ili 100, ili 1000 itd., tako da djelitelj postane prirodan broj, a zatim podijeliti s prirodnim brojem sa stupcem. To možemo učiniti zahvaljujući svojstvima dijeljenja i množenja, jer a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) i tako dalje.

Drugim riječima, podijeliti završnu decimalu s završnom decimalom, moram:

u djelitelju i djelitelju pomaknite zarez udesno za onoliko mjesta koliko ima iza decimalne točke u djelitelju; ako u djelitelju nema dovoljno znakova za pomicanje zareza, tada treba dodati potreban broj nule udesno;
Nakon toga podijelite decimalnim stupcem prirodnim brojem.

Prilikom rješavanja primjera razmotrite primjenu ovog pravila dijeljenja decimalnim razlomkom.

Primjer.

Podijelite stupcem 7,287 s 2,1.

Riješenje.

Pomaknimo zarez u ovim decimalnim razlomcima za jednu znamenku udesno, to će nam omogućiti prijelaz s dijeljenja decimalnog razlomka 7,287 s decimalnim razlomkom 2,1 na dijeljenje decimalnog razlomka 72,87 s prirodnim brojem 21. Napravimo podjelu po stupcima:

Odgovor:

7,287:2,1=3,47 .

Primjer.

Podijelite decimalu 16,3 s decimalom 0,021.

Riješenje.

Pomaknite zarez u djelitelju i djelitelju na tri desna mjesta. Očito je da djelitelj nema dovoljno znamenki za pomicanje decimalne točke, pa ćemo s desne strane dodati potreban broj nula. Podijelimo sada razlomak 16300.0 stupcem s prirodnim brojem 21:

Od tog trenutka počinju se ponavljati ostaci 4, 19, 1, 10, 16 i 13, što znači da će se ponoviti i brojevi 1, 9, 0, 4, 7 i 6 u količniku. Kao rezultat, dobivamo periodični decimalni razlomak 776,(190476) .

Odgovor:

16,3:0,021=776,(190476) .

Imajte na umu da vam najavljeno pravilo omogućuje dijeljenje prirodnog broja stupcem u konačni decimalni razlomak.

Primjer.

Prirodni broj 3 podijeli decimalnim razlomkom 5.4.

Riješenje.

Nakon pomicanja decimalne točke za jednu znamenku udesno, dolazimo do dijeljenja broja 30,0 s 54. Napravimo podjelu po stupcima:
.

Ovo se pravilo može primijeniti i kod dijeljenja beskonačnih decimalnih razlomaka s 10, 100, .... Na primjer, 3,(56):1,000=0,003(56) i 593,374…:100=5,93374… .

Dijeljenje decimala s 0,1, 0,01, 0,001 itd.

Kako je 0,1 = 1/10, 0,01 = 1/100 itd., onda iz pravila dijeljenja običnim razlomkom slijedi da decimalni razlomak podijelimo sa 0,1, 0,01, 0,001 itd. to je isto kao i množenje zadane decimale s 10, 100, 1000 itd. odnosno.

Drugim riječima, da biste podijelili decimalni razlomak s 0,1, 0,01, ... potrebno je decimalni zarez pomaknuti udesno za 1, 2, 3, ... znamenke, a ako znamenke u decimalnom razlomku nisu dovoljne da biste pomaknuli decimalnu točku, tada trebate desnim nulama dodati traženi broj.

Na primjer, 5,739:0,1=57,39 i 0,21:0,00001=21 000.

Isto se pravilo može primijeniti pri dijeljenju beskonačnih decimalnih razlomaka s 0,1, 0,01, 0,001 itd. U tom slučaju treba biti vrlo oprezan pri dijeljenju periodičnih razlomaka kako ne biste pogriješili s periodom razlomka koji se dobije dijeljenjem. Na primjer, 7.5(716):0.01=757,(167), pošto nakon pomicanja decimalne točke u decimalnom razlomku 7.5716716716... dva mjesta udesno, imamo unos 757.167167.... S beskonačnim neperiodičnim decimalnim razlomcima sve je jednostavnije: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Dijeljenje razlomka ili mješovitog broja decimalom i obrnuto

Dijeljenje običnog razlomka ili mješovitog broja konačnim ili periodičkim decimalnim razlomkom, kao i dijeljenje konačnog ili periodičnog decimalnog razlomka običnim ili mješovitim brojem, svodi se na dijeljenje običnih razlomaka. Da bi se to postiglo, decimalni razlomci se zamjenjuju odgovarajućim običnim razlomcima, a mješoviti broj predstavlja se kao nepravi razlomak.

Kada dijelite beskonačni neperiodični decimalni razlomak običnim razlomkom ili mješovitim brojem i obrnuto, trebate prijeći na dijeljenje decimalnih razlomaka, zamjenjujući obični razlomak ili mješoviti broj odgovarajućim decimalnim razlomkom.

Bibliografija.

Matematika: udžbenik za 5. razred. opće obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
Matematika. 6. razred: obrazovni. za opće obrazovanje ustanove / [N. Ya.Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.

Zapišimo pravilo i razmotrimo njegovu primjenu na primjerima.

Kod dijeljenja decimalnog razlomka prirodnim brojem:

1) podijeliti bez obraćanja pozornosti na zarez;

2) kada završi dijeljenje cijelog dijela, u količniku stavljamo zarez.

Ako je cijeli dio manji od djelitelja, tada je cijeli dio kvocijenta nula.

Primjeri dijeljenja decimalnih razlomaka prirodnim brojevima.

Dijelimo ne pazeći na zarez, odnosno 348 dijelimo sa 6. Pri dijeljenju 34 sa 6 uzimamo po 5. 5∙6=30, 34-30=4, odnosno ostatak je 4.

Razlika između dijeljenja decimalnog razlomka prirodnim brojem i dijeljenja cijelih brojeva je samo u tome što kada završimo dijeljenje cijelog dijela, u kvocijent stavljamo zarez. Odnosno, kada prolazimo kroz zarez, prije nego ga spustimo na ostatak dijeljenja cijelog dijela, 4, broj 8 iz razlomljenog dijela, upišemo zarez u kvocijentu.

Skidamo 8. 48:6=8. U četiri oka pišemo 8.

Dakle, 34,8:6=5,8.

Kako 5 nije djeljivo s 12, u kvocijent upisujemo nulu. Dijeljenje cijelog dijela je završeno, u kvocijent stavljamo zarez.

Oduzimamo 1. Kada dijelimo 51 sa 12, uzimamo 4. Ostatak je 3.

Skidamo 6. 36:12=3.

Dakle, 5,16:12=0,43.

3) 0,646:38=?

Cjelobrojni dio dividende sadrži nulu. Kako nula nije djeljiva s 38, u kvocijent stavljamo 0. Dijeljenje cijelog dijela je završeno, u kvocijentu upisujemo zarez.