Svojstva običnih razlomaka. Glavno svojstvo algebarskog razlomka

Ova tema Dovoljno je važno da se sva daljnja matematika i algebra temelje na osnovnim svojstvima razlomaka. Razmatrana svojstva razlomaka, unatoč njihovoj važnosti, vrlo su jednostavna.

Razumjeti osnovna svojstva razlomaka razmotrite krug.

Na krugu se vidi da su 4 dijela ili osjenčana od osam mogućih. Napiši dobiveni razlomak \(\frac(4)(8)\)

Sljedeći krug pokazuje da je jedan od dva moguća dijela osjenčan. Napiši dobiveni razlomak \(\frac(1)(2)\)

Ako bolje pogledamo, vidjet ćemo da je u prvom slučaju, da je u drugom slučaju polovica kruga osjenčana, pa su dobiveni razlomci jednaki \(\frac(4)(8) = \frac(1) (2)\), to jest to je isti broj.

Kako se to može matematički dokazati? Vrlo jednostavno, sjetite se tablice množenja i napišite prvi razlomak na faktore.

\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \boja(crvena) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \boja(crvena)(1) = \frac(1)(2)\)

Što smo učinili? Rastavili smo brojnik i nazivnik \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\), a zatim podijelili razlomke \(\frac(1 ) (2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4))\). Četiri podijeljeno s četiri je 1, a jedan pomnožen bilo kojim brojem je sam broj. Ono što smo napravili u gornjem primjeru zove se redukcija razlomaka.

Pogledajmo drugi primjer i smanjimo razlomak.

\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \color(red) (2))(5 \cdot \color(red) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \boja(crvena) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \boja(crvena)(1) = \frac(3)(5)\)

Opet smo brojnik i nazivnik rastavili na faktore i sveli iste brojeve na brojnike i nazivnike. To jest, dva podijeljeno s dva dalo je jedan, a jedan pomnožen bilo kojim brojem daje isti broj.

Osnovno svojstvo razlomka.

Ovo implicira glavno svojstvo razlomka:

Ako se i brojnik i nazivnik razlomka pomnože s istim brojem (osim nule), tada se vrijednost razlomka neće promijeniti.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)

Također možete istovremeno podijeliti brojnik i nazivnik istim brojem.
Razmotrite primjer:

\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \color(red) (2))(8 \div \color(red) (2)) = \frac(3)(4)\)

Ako su i brojnik i nazivnik razlomka podijeljeni s istim brojem (osim nule), tada se vrijednost razlomka neće promijeniti.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)

Razlomci koji imaju zajedničke proste djelitelje i u brojnicima i u nazivnicima nazivaju se poništivi razlomci.

Primjer poništavanja: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)

Postoji također nesvodivi razlomci.

nesvodivi razlomak je razlomak koji nema zajedničke proste djelitelje u brojnicima i nazivnicima.

Primjer nesvodivog razlomka: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)

Svaki broj se može predstaviti kao razlomak, jer je svaki broj djeljiv s jedan, Na primjer:

\(7 = \frac(7)(1)\)

Pitanja na temu:
Mislite li da se neki razlomak može smanjiti ili ne?
Odgovor: Ne, postoje svodivi razlomci i nesvodivi razlomci.

Provjerite je li jednakost istinita: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Odgovor: napiši razlomak \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\) da pošteno.

Primjer #1:
a) Odredi razlomak s nazivnikom 15 koji je jednak razlomku \(\frac(2)(3)\).
b) Nađi razlomak s brojnikom 8, jednak razlomku \(\frac(1)(5)\).

Riješenje:
a) Nazivnik treba da bude broj 15. Sada je nazivnik broj 3. S kojim brojem treba pomnožiti broj 3 da dobijemo 15? Prisjetimo se tablice množenja 3⋅5. Moramo koristiti osnovno svojstvo razlomaka i pomnožiti i brojnik i nazivnik razlomka \(\frac(2)(3)\) do 5.

\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)

b) U brojniku trebamo broj 8. Sada je u brojniku broj 1. S kojim brojem treba pomnožiti broj 1 da dobijemo 8? Naravno, 1⋅8. Moramo koristiti osnovno svojstvo razlomaka i pomnožiti i brojnik i nazivnik razlomka \(\frac(1)(5)\) do 8. Dobivamo:

\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)

Primjer #2:
Odredi nesvodivi razlomak koji je jednak razlomku: a) \(\frac(16)(36)\), b) \(\frac(10)(25)\).

Riješenje:
A) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)

b) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)

Primjer #3:
Napiši u obliku razlomka broj: a) 13 b) 123

Riješenje:
A) \(13 = \frac(13) (1)\)

b) \(123 = \frac(123) (1)\)

Frakcija- oblik prikazivanja broja u matematici. Kosa crta označava operaciju dijeljenja. brojnik razlomaka naziva se dividenda, a nazivnik- razdjelnik. Na primjer, u razlomku brojnik je 5, a nazivnik 7.

Točno Razlomak se zove ako je modul brojnika veći od modula nazivnika. Ako je razlomak točan, tada je modul njegove vrijednosti uvijek manji od 1. Svi ostali razlomci su točni pogrešno.

Razlomak se zove mješoviti, ako je zapisan kao cijeli broj i razlomak. Ovo je isto što i zbroj ovog broja i razlomka:

Osnovno svojstvo razlomka

Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože istim brojem, tada se vrijednost razlomka neće promijeniti, tj. npr.

Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Da biste dva razlomka doveli na zajednički nazivnik, potrebno vam je:

1. Pomnožite brojnik prvog razlomka s nazivnikom drugog
2. Pomnožite brojnik drugog razlomka s nazivnikom prvog
3. Zamijenite nazivnike oba razlomka njihovim umnoškom

Akcije s razlomcima

Dodatak. Da biste zbrojili dva razlomka, trebate

1. Dodajte nove brojnike obaju razlomaka, a nazivnik ostavite nepromijenjenim

Primjer:

Oduzimanje. Za oduzimanje jednog razlomka od drugog,

1. Dovedite razlomke na zajednički nazivnik
2. Oduzmite brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostavite nepromijenjen

Primjer:

Množenje. Da biste pomnožili jedan razlomak s drugim, pomnožite njihove brojnike i nazivnike.

U ovoj lekciji razmotrit ćemo glavno svojstvo algebarskog razlomka. Sposobnost da se to svojstvo primijeni ispravno i bez pogrešaka jedna je od najvažnijih osnovnih vještina u cijelom školskom matematičkom tečaju i susrest će se ne samo tijekom proučavanja ove teme, već iu gotovo svim dijelovima matematike koji će se proučavati u budućnosti. . Već smo učili redukciju običnih razlomaka, au ovoj lekciji ćemo razmotriti redukciju racionalnih razlomaka. Unatoč prilično velikoj vanjskoj razlici koja postoji između racionalnih i običnih razlomaka, oni imaju dosta toga zajedničkog, naime i obični i racionalni razlomci imaju isto osnovno svojstvo i Opća pravila izvođenje aritmetičkih operacija. U sklopu nastave susrest ćemo se s pojmovima: svođenje razlomaka, množenje i dijeljenje brojnika i nazivnika istim izrazom – te razmatrati primjere.

Prisjetimo se glavnog svojstvo zajedničkog razlomka: Vrijednost razlomka neće se promijeniti ako se njegov brojnik i nazivnik pomnože ili podijele istim brojem koji nije nula. Podsjetimo se da se dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka istim brojem koji nije nula naziva smanjenje.

Na primjer: , dok se vrijednost razlomaka ne mijenja. Međutim, kada primjenjuju ovo svojstvo, mnogi ljudi često čine standardne pogreške:

1) - u gornjem primjeru napravljena je pogreška pri dijeljenju samo jednog člana iz brojnika s 2, a ne cijelog brojnika. Točan slijed radnji izgleda ovako: ili .

2) - ovdje vidimo sličnu pogrešku, ali osim toga dijeljenjem je dobivena 0, a ne 1, što je još češća i grublja pogreška.

Sada se moramo okrenuti razmatranju algebarski razlomak. Prisjetite se ovog koncepta iz prethodne lekcije.

Definicija.Racionalni (algebarski) razlomak je frakcijski izraz oblika , gdje su polinomi. - brojnik nazivnik.

Algebarski razlomci su u neku ruku generalizacija običnih razlomaka i na njima se mogu izvoditi iste operacije kao i na običnim razlomcima.

I brojnik i nazivnik razlomka mogu se pomnožiti i podijeliti istim polinomom (monomom) ili brojem koji nije nula. To će biti identična transformacija algebarskog razlomka. Podsjetimo se da se, kao i prije, dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka istim izrazom koji nije nula naziva smanjenje.

Glavno svojstvo algebarskog razlomka omogućuje smanjivanje razlomaka i njihovo dovođenje na najmanji zajednički nazivnik.

Da bismo smanjili obične razlomke, pribjegli smo temeljni teorem aritmetike, razložio je i brojnik i nazivnik na proste faktore.

Definicija.glavni broj - prirodni broj, koji je djeljiv samo s 1 i samim sobom. Svi ostali prirodni brojevi nazivaju se složeni. 1 nije ni prost ni složeni broj.

Primjer 1 a), gdje su faktori na koje se rastavljaju brojnici i nazivnici navedenih razlomaka prosti brojevi.

Odgovor.; .

Stoga, za kratice razlomaka prvo morate faktorizirati brojnik i nazivnik razlomka, a zatim ih podijeliti na zajedničke faktore. Oni. trebali poznavati metode rastavljanja polinoma na faktore.

Primjer 2 Skrati razlomak a) , b), c).

Riješenje. A). Treba napomenuti da je brojnik puni kvadrat, a nazivnik razlika kvadrata. Nakon redukcije morate navesti da , kako biste izbjegli dijeljenje s nulom.

b) . Nazivnik se izdvaja zajedničkim numeričkim faktorom, koji je koristan u gotovo svakom slučaju kada je to moguće. Slično s prethodnim primjerom, označavamo da .

V) . U nazivniku izuzimamo minus (ili, formalno, ). Ne zaboravite da prilikom smanjivanja .

Odgovor.;; .

Sada dajmo primjer svođenja na zajednički nazivnik, to se radi slično s običnim razlomcima.

Primjer 3

Riješenje. Da biste pronašli najmanji zajednički nazivnik, morate pronaći najmanji zajednički višekratnik (NOC) dva nazivnika, tj. LCM(3;5). Drugim riječima, pronaći najmanji broj, koji je djeljiv s 3 i 5 u isto vrijeme. Očito, ovaj broj je 15, može se napisati na ovaj način: LCM (3; 5) \u003d 15 - to će biti zajednički nazivnik naznačenih frakcija.

Da biste nazivnik od 3 pretvorili u 15, morate ga pomnožiti s 5, a da biste pretvorili 5 u 15, morate ga pomnožiti s 3. Prema glavnom svojstvu algebarskog razlomka, treba množiti s istim brojevima i odgovarajućim brojnicima od naznačenih razlomaka.

Odgovor.; .

Primjer 4 Svedi na zajednički nazivnik razlomka i .

Riješenje. Provest ćemo radnje slične prethodnom primjeru. Najmanji zajednički višekratnik nazivnika LCM(12;18)=36. Oba razlomka dovodimo na ovaj nazivnik:

I .

Odgovor.; .

Sada pogledajmo primjere koji pokazuju upotrebu tehnika redukcije razlomaka za pojednostavljenje razlomaka u složenijim slučajevima.

Primjer 5 Izračunajte vrijednost razlomka: a), b), c).

A) . Kod redukcije koristimo pravilo podjele stupnjeva.

Nakon što smo ponovili korištenje osnovno svojstvo običnog razlomka, možemo nastaviti s razmatranjem algebarskih razlomaka.

Primjer 6 Pojednostavite razlomak i izračunajte za zadane vrijednosti varijabli: a) ; , b);

Riješenje. Prilikom pristupa rješenju moguća je sljedeća opcija - odmah zamijenite vrijednosti varijabli i počnite računati razlomak, ali u tom slučaju rješenje postaje puno kompliciranije i povećava se vrijeme potrebno za njegovo rješavanje, a da ne spominjemo opasnost griješiti u složenim izračunima. Stoga je prikladno prvo pojednostaviti izraz u doslovnom obliku, a zatim zamijeniti vrijednosti varijabli.

A) . Prilikom redukcije za faktor potrebno je provjeriti nestaje li on u navedenim vrijednostima varijabli. Zamjenom dobivamo , što omogućuje smanjenje za ovaj faktor.

b) . Izbacimo minus u nazivniku, kao što smo već učinili u primjer 2. Kod smanjivanja s ponovno provjeravamo dijelimo li s nulom: .

Odgovor.; .

Primjer 7 Svedi na zajednički nazivnik razlomke a) i , b) i , c) i .

Riješenje. a) B ovaj slučaj pristupimo rješenju na sljedeći način: nećemo koristiti koncept LCM, kao u drugom primjeru, već jednostavno pomnožiti nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog i obrnuto - to će nam omogućiti da razlomke dovedemo do isti nazivnik. Naravno, nemojte zaboraviti pomnožiti brojnike razlomaka istim izrazima.

. U brojniku su otvorene zagrade, au nazivniku je korištena formula razlike kvadrata.

. Slične akcije.

Može se vidjeti da ova metoda omogućuje množenje nazivnika i brojnika jednog razlomka onim elementom iz nazivnika drugog razlomka koji nedostaje. S drugim razlomcima provode se slične radnje, a nazivnici se svode na zajednički.

b) Učinimo isto s prethodnim odlomkom:

. Brojnik i nazivnik množimo s onim elementom nazivnika drugog razlomka koji nije bio dovoljan (u ovom slučaju s cijelim nazivnikom).

. Također.

V) . U ovom smo slučaju pomnožili s 3 (faktor koji je prisutan u nazivniku drugog razlomka, a nema ga u prvom).

.

Odgovor. A) ; , b); , V) ; .

U ovoj lekciji smo naučili osnovno svojstvo algebarskog razlomka i razmotrio glavne zadaće s njegovom uporabom. U sljedećoj lekciji detaljnije ćemo analizirati svođenje razlomaka na zajednički nazivnik pomoću formula za skraćeno množenje i metodu grupiranja pri rastavljanju na faktore.

Bibliografija

1. Bashmakov M.I. Algebra 8. razred. - M.: Prosvjetljenje, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i dr. Algebra 8. - 5. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra 8. razred. Udžbenik za obrazovne ustanove. - M.: Obrazovanje, 2006.

1. UPOTREBA u matematici ().
2. Festival pedagoških ideja Javni sat» ().
3. Matematika u školi: nastavni planovi ().

Domaća zadaća

U ovom ćemo članku analizirati koje je glavno svojstvo razlomka, formulirati ga, dati dokaz i dobar primjer. Zatim ćemo razmotriti kako primijeniti osnovno svojstvo razlomka pri izvođenju radnji skraćivanja razlomaka i dovođenja razlomaka na novi nazivnik.

Svi obični razlomci imaju najvažnije svojstvo koje nazivamo osnovno svojstvo razlomka, a ono glasi ovako:

Definicija 1

Ako se brojnik i nazivnik jednog razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, tada će rezultat biti razlomak jednak zadanom.

Predstavimo glavno svojstvo razlomka u obliku jednakosti. Za prirodne brojeve a , b i m vrijedit će jednakosti:

a m b m = a b i a: m b: m = a b

Razmotrimo dokaz glavnog svojstva razlomka. Na temelju svojstava množenja prirodnih brojeva i svojstava dijeljenja prirodnih brojeva zapisujemo jednakosti: (a · m) · b = (b · m) · a i (a: m) · b = (b: m) · a. Dakle, razlomci a m b m i a b , kao i a: m b: m i a b su jednaki po definiciji jednakosti razlomaka.

Pogledajmo primjer koji grafički ilustrira glavno svojstvo razlomka.

Primjer 1

Recimo da imamo kvadrat podijeljen na 9 "velikih" dijelova-kvadrata. Svaki "veliki" kvadrat je podijeljen na 4 manja. Može se reći da je dati kvadrat podijeljen na 4 9 = 36 "malih" kvadrata. Označite bojom 5 "velikih" kvadrata. U ovom slučaju će biti obojano 4 · 5 = 20 "malih" kvadratića. Pokažimo sliku koja pokazuje naše postupke:

Obojeni dio je 59 od izvorne brojke ili 2036 što je isto. Dakle, razlomci 5 9 i 20 36 su jednaki: 5 9 = 20 36 ili 20 36 = 5 9 .

Iz ovih jednakosti, kao i jednakosti 20 = 4 5, 36 = 4 9, 20 : 4 = 5 i 36 : 4 = 9, može se zaključiti da 5 9 = 5 4 9 4 i 20 36 = 20 4 36 4 .

Kako bismo učvrstili teoriju, analizirat ćemo rješenje primjera.

Primjer 2

Zadano je da su brojnik i nazivnik nekog običnog razlomka pomnoženi sa 47, nakon čega su ti brojnik i nazivnik podijeljeni sa 3. Je li dobiveni razlomak jednak zadanom?

Riješenje

Na temelju osnovnog svojstva razlomka možemo reći da ćemo množenjem brojnika i nazivnika zadanog razlomka s prirodnim brojem 47 dobiti razlomak jednak izvornom. Istu stvar možemo tvrditi daljnjim dijeljenjem s 3. U konačnici ćemo dobiti razlomak jednak zadanom.

Odgovor: Da, dobiveni ulomak bit će jednak izvorniku.

Primjena osnovnog svojstva razlomka

Glavno svojstvo se koristi kada razlomke trebate dovesti na novi nazivnik i kada razlomke sažimate.

Svođenje razlomka na novi nazivnik je čin zamjene danog razlomka razlomkom koji mu je jednak, ali s većim brojnikom i nazivnikom. Da biste razlomak doveli na novi nazivnik, potrebno je brojnik i nazivnik razlomka pomnožiti s traženim prirodnim brojem. Operacije s običnim razlomcima bile bi nemoguće bez načina da se razlomci dovedu na novi nazivnik.

Definicija 2

Smanjenje razlomaka- radnja prijelaza na novi razlomak jednak zadanom, ali s manjim brojnikom i nazivnikom. Da biste smanjili razlomak, potrebno je brojnik i nazivnik razlomka podijeliti s istim potrebnim prirodnim brojem koji će se zvati zajednički djelitelj.

Postoje slučajevi kada takvog zajedničkog djelitelja nema, tada kažu da je izvorni razlomak nesvodiv ili da se ne može reducirati. Konkretno, smanjenje razlomka korištenjem najvećeg zajedničkog faktora učinit će razlomak nesvodivim.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Od tečaja algebre školskog kurikuluma prelazimo na specifičnosti. U ovom članku ćemo detaljno proučiti posebna vrsta racionalni izrazi - racionalni razlomci, te također analizirati koje su karakteristike identične transformacije racionalnih razlomaka održati se.

Odmah napominjemo da se racionalni razlomci u smislu u kojem ih definiramo u nastavku nazivaju algebarskim razlomcima u nekim udžbenicima algebre. To jest, u ovom članku ćemo razumjeti istu stvar pod racionalnim i algebarskim razlomcima.

Kao i obično, počinjemo s definicijom i primjerima. Zatim, razgovarajmo o dovođenju racionalnog razlomka na novi nazivnik i o promjeni predznaka članova razlomka. Nakon toga ćemo analizirati kako se izvodi redukcija razlomaka. Na kraju, zadržimo se na prikazu racionalnog razlomka kao zbroja više razlomaka. Sve informacije dostavit ćemo s primjerima detaljni opisi rješenja.

Navigacija po stranici.

Definicija i primjeri racionalnih razlomaka

Racionalni razlomci proučavaju se na satovima algebre u 8. razredu. Koristit ćemo se definicijom racionalnog razlomka, koja je dana u udžbeniku algebre za 8. razred Yu. N. Makarycheva i drugih.

Ova definicija ne precizira moraju li polinomi u brojniku i nazivniku racionalnog razlomka biti polinomi standardni prikaz ili ne. Stoga ćemo pretpostaviti da racionalni razlomci mogu sadržavati i standardne i nestandardne polinome.

Evo nekoliko primjeri racionalnih razlomaka. Dakle, x/8 i - racionalni razlomci. I razlomci i ne odgovaraju zvučnoj definiciji racionalnog razlomka, jer u prvom od njih brojnik nije polinom, au drugom i brojnik i nazivnik sadrže izraze koji nisu polinomi.

Pretvaranje brojnika i nazivnika racionalnog razlomka

Brojnik i nazivnik bilo kojeg razlomka su samodostatni matematički izrazi, u slučaju racionalnih razlomaka to su polinomi, u određenom slučaju to su monomi i brojevi. Dakle, s brojnikom i nazivnikom racionalnog razlomka, kao i s bilo kojim izrazom, mogu se provesti identične transformacije. Drugim riječima, izraz u brojniku racionalnog razlomka može se zamijeniti izrazom koji mu je identički jednak, baš kao i nazivnik.

U brojniku i nazivniku racionalnog razlomka mogu se izvršiti identične transformacije. Na primjer, u brojniku možete grupirati i reducirati slične članove, au nazivniku se umnožak nekoliko brojeva može zamijeniti njegovom vrijednošću. A budući da su brojnik i nazivnik racionalnog razlomka polinomi, s njima je moguće izvoditi transformacije karakteristične za polinome, na primjer, svođenje na standardni oblik ili prikaz kao produkt.

Radi jasnoće, razmotrite rješenja nekoliko primjera.

Primjer.

Pretvoriti racionalni razlomak tako da je brojnik polinom standardnog oblika, a nazivnik umnožak polinoma.

Riješenje.

Svođenje racionalnih razlomaka na novi nazivnik uglavnom se koristi pri zbrajanju i oduzimanju racionalnih razlomaka.

Mijenjanje predznaka ispred razlomka, kao iu njegovom brojniku i nazivniku

Osnovno svojstvo razlomka može se koristiti za promjenu predznaka članova razlomka. Doista, množenje brojnika i nazivnika racionalnog razlomka s -1 jednako je promjeni njihovih predznaka, a rezultat je razlomak koji je identički jednak zadanom. Takva se transformacija mora često koristiti kada se radi s racionalnim razlomcima.

Dakle, ako istovremeno promijenite predznak brojnika i nazivnika razlomka, dobit ćete razlomak jednak izvornom. Ova izjava odgovara jednakosti.

Uzmimo primjer. Racionalni razlomak može se zamijeniti identično jednakim razlomkom s obrnutim predznakom brojnika i nazivnika oblika.

Kod razlomaka se može izvršiti još jedna identična transformacija u kojoj se mijenja predznak ili u brojniku ili u nazivniku. Prođimo kroz odgovarajuće pravilo. Ako znak razlomka zamijenite znakom brojnika ili nazivnika, dobit ćete razlomak koji je identično jednak originalu. Napisana izjava odgovara jednakostima i .

Te jednakosti nije teško dokazati. Dokaz se temelji na svojstvima množenja brojeva. Dokažimo prvu od njih: . Uz pomoć sličnih transformacija dokazuje se i jednakost.

Na primjer, razlomak se može zamijeniti izrazom ili .

Za kraj ovog pododjeljka predstavljamo još dvije korisne jednakosti i . To jest, ako promijenite predznak samo brojnika ili samo nazivnika, tada će razlomak promijeniti predznak. Na primjer, I .

Razmotrene transformacije, koje omogućuju promjenu znaka članova razlomka, često se koriste pri transformaciji frakcijski racionalnih izraza.

Redukcija racionalnih razlomaka

Sljedeća transformacija racionalnih razlomaka, nazvana redukcija racionalnih razlomaka, temelji se na istom osnovnom svojstvu razlomka. Ova transformacija odgovara jednakosti , gdje su a , b i c neki polinomi, a b i c različiti od nule.

Iz gornje jednakosti postaje jasno da redukcija racionalnog razlomka podrazumijeva uklanjanje zajedničkog faktora u njegovom brojniku i nazivniku.

Primjer.

Smanjite racionalni razlomak.

Riješenje.

Zajednički faktor 2 je odmah vidljiv, smanjimo ga (prilikom pisanja zgodno je precrtati zajedničke faktore pomoću kojih se vrši smanjenje). Imamo . Budući da je x 2 \u003d x x i y 7 \u003d y 3 y 4 (pogledajte ako je potrebno), jasno je da je x zajednički faktor brojnika i nazivnika rezultirajućeg razlomka, kao što je y 3 . Smanjimo ovim faktorima: . Time je redukcija završena.

Gore smo redom izvršili smanjenje racionalnog razlomka. I bilo je moguće izvršiti redukciju u jednom koraku, odmah smanjujući razlomak za 2·x·y 3 . U ovom slučaju rješenje bi izgledalo ovako: .

Odgovor:

.

Kod sažimanja racionalnih razlomaka glavni problem je što zajednički faktor brojnika i nazivnika nije uvijek vidljiv. Štoviše, ne postoji uvijek. Da biste pronašli zajednički faktor ili se uvjerili da on ne postoji, morate brojnik i nazivnik racionalnog razlomka rastaviti na faktore. Ako nema zajedničkog faktora, tada se izvorni racionalni razlomak ne mora reducirati, inače se provodi redukcija.

U procesu smanjivanja racionalnih razlomaka mogu se pojaviti razne nijanse. Glavne suptilnosti s primjerima i detaljima raspravljaju se u članku smanjenje algebarskih frakcija.

Zaključujući razgovor o smanjenju racionalnih razlomaka, napominjemo da je ova transformacija identična, a glavna poteškoća u njezinoj provedbi leži u faktorizaciji polinoma u brojniku i nazivniku.

Predstavljanje racionalnog razlomka kao zbroj razlomaka

Sasvim specifična, ali u nekim slučajevima vrlo korisna, je transformacija racionalnog razlomka, koja se sastoji u njegovom predstavljanju kao zbroja nekoliko razlomaka, ili zbroja cjelobrojnog izraza i razlomka.

Racionalni razlomak, u čijem je brojniku polinom, koji je zbroj više monoma, uvijek se može napisati kao zbroj razlomaka s istim nazivnicima, u čijim su brojnicima odgovarajući monomi. Na primjer, . Taj se prikaz objašnjava pravilom zbrajanja i oduzimanja algebarskih razlomaka s istim nazivnicima.

Općenito, svaki racionalni razlomak može se prikazati kao zbroj razlomaka na mnogo različitih načina. Na primjer, razlomak a/b može se prikazati kao zbroj dvaju razlomaka - proizvoljnog razlomka c/d i razlomka koji je jednak razlici između razlomaka a/b i c/d. Ova tvrdnja je točna, budući da je jednakost . Na primjer, racionalni razlomak može se prikazati kao zbroj razlomaka različiti putevi: Izvorni razlomak predstavljamo kao zbroj cjelobrojnog izraza i razlomka. Nakon dijeljenja brojnika s nazivnikom stupcem dobivamo jednakost . Vrijednost izraza n 3 +4 za bilo koji cijeli broj n je cijeli broj. A vrijednost razlomka je cijeli broj ako i samo ako je njegov nazivnik 1, −1, 3 ili −3. Ove vrijednosti odgovaraju vrijednostima n=3, n=1, n=5 i n=−1 redom.

Odgovor:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografija.

• Algebra: udžbenik za 8 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 14 sati Dio 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 13. izdanje, vlč. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Dio 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkim školama): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.