Rješavanje tipičnih problema čvrstoće materijala. Čisti zavoj

Opći pojmovi.

Deformacija savijanjemsastoji se u zakrivljenosti osi ravnog štapa ili u promjeni početne zakrivljenosti ravnog štapa(Sl. 6.1) . Upoznajmo se s osnovnim pojmovima koji se koriste pri razmatranju deformacije savijanjem.

Šipke koje se savijaju nazivaju se grede.

Čist nazvano savijanje, u kojem je moment savijanja jedini faktor unutarnje sile koji nastaje u presjeku grede.

Češće se u presjeku štapa uz moment savijanja javlja i poprečna sila. Ovo savijanje naziva se poprečnim.

Ravno (ravno) naziva se savijanje kada ravnina djelovanja momenta savijanja u presjeku prolazi kroz jednu od glavnih središnjih osi poprečnog presjeka.

S kosim savijanjem ravnina djelovanja momenta savijanja siječe poprečni presjek grede po liniji koja se ne poklapa ni s jednom glavnom središnjom osi poprečnog presjeka.

Naše proučavanje deformacije savijanjem počinjemo sa slučajem čistog ravninskog savijanja.

Normalna naprezanja i deformacije pri čistom savijanju.

Kao što je već spomenuto, s čistim ravnim savijanjem u presjeku, od šest unutarnjih faktora sile, samo je moment savijanja različit od nule (slika 6.1, c):

; (6.1)

Eksperimenti provedeni na elastičnim modelima pokazuju da ako se na površinu modela nanese mreža linija(Sl. 6.1, a) , tada se čistim savijanjem deformira na sljedeći način(Slika 6.1, b):

a) uzdužne linije su zakrivljene duž oboda;

b) konture poprečnih presjeka ostaju ravne;

c) konturne linije presjeka posvuda se sijeku s uzdužnim vlaknima pod pravim kutom.

Na temelju toga može se pretpostaviti da kod čistog savijanja poprečni presjeci grede ostaju ravni i rotiraju se tako da ostaju normalni na zakrivljenu os grede (ravni presjeci u hipotezi savijanja).

Riža. .

Mjerenjem duljine uzdužnih linija (slika 6.1, b), možete utvrditi da se gornja vlakna produljuju kada se greda savija, a donja se skraćuju. Očito je moguće pronaći vlakna čija duljina ostaje nepromijenjena. Naziva se skup vlakana koja ne mijenjaju svoju duljinu kada se greda savijaneutralni sloj (n.s.). Neutralni sloj siječe presjek grede u ravnoj liniji, što se tzvneutralna linija (n.l.) dionica.

Za izvođenje formule koja određuje veličinu normalnih naprezanja koja nastaju u presjeku, razmotrite dio grede u deformiranom i nedeformiranom stanju (slika 6.2).

Riža. .

Pomoću dva infinitezimalna presjeka odabiremo element duljine. Prije deformacije, dijelovi koji ograničavaju element bili su paralelni jedni s drugima (slika 6.2, a), a nakon deformacije lagano su se naginjali, tvoreći kut. Duljina vlakana koja leže u neutralnom sloju ne mijenja se pri savijanju. Označimo slovom radijus zakrivljenosti traga neutralnog sloja na ravnini crtanja. Odredimo linearnu deformaciju proizvoljnog vlakna koje se nalazi na udaljenosti od neutralnog sloja.

Duljina ovog vlakna nakon deformacije (duljina luka) je jednaka. Uzimajući u obzir da su prije deformacije sva vlakna imala istu duljinu, dobivamo da je apsolutno istezanje dotičnog vlakna

Njegova relativna deformacija

Očito, budući da se duljina vlakna koje leži u neutralnom sloju nije promijenila. Zatim nakon zamjene dobivamo

(6.2)

Stoga je relativna uzdužna deformacija proporcionalna udaljenosti vlakna od neutralne osi.

Uvedimo pretpostavku da pri savijanju uzdužna vlakna ne pritišću jedna na druga. Pod ovom pretpostavkom, svako se vlakno deformira zasebno, doživljavajući jednostavnu napetost ili kompresiju, pri čemu. Uzimajući u obzir (6.2)

, (6.3)

odnosno normalna naprezanja izravno su proporcionalna udaljenostima razmatranih točaka presjeka od neutralne osi.

Zamijenimo ovisnost (6.3) u izraz za moment savijanja u presjeku (6.1)

Podsjetimo se da integral predstavlja moment tromosti presjeka u odnosu na os

Ili

(6.4)

Ovisnost (6.4) predstavlja Hookeov zakon za savijanje, budući da povezuje deformaciju (zakrivljenost neutralnog sloja) s momentom koji djeluje u presjeku. Proizvod se naziva krutost presjeka na savijanje, N m 2.

Zamijenimo (6.4) u (6.3)

(6.5)

Ovo je potrebna formula za određivanje normalnih naprezanja tijekom čistog savijanja grede u bilo kojoj točki njezinog poprečnog presjeka.

Za Da bismo ustanovili gdje se u presjeku nalazi neutralna linija, vrijednost normalnih naprezanja zamijenimo u izraz za uzdužnu silu i moment savijanja

Jer,

Da

(6.6)

(6.7)

Jednakost (6.6) pokazuje da os , neutralna os presjeka , prolazi kroz težište poprečnog presjeka.

Jednakost (6.7) pokazuje da su i glavne središnje osi presjeka.

Prema (6.5), najveći napon se postiže u vlaknima koja su najudaljenija od neutralne linije

Omjer predstavlja aksijalni moment otpora presjeka u odnosu na njegovu središnju os, što znači

Značenje najjednostavnijih presjeka je:

Za pravokutni presjek

, (6.8)

gdje je stranica presjeka okomita na os;

Stranica presjeka je paralelna s osi;

Za okrugli presjek

, (6.9)

gdje je promjer kružnog presjeka.

Uvjet čvrstoće za normalna naprezanja na savijanje može se napisati u obliku

(6.10)

Sve dobivene formule dobivene su za slučaj čistog savijanja ravnog štapa. Djelovanje transverzalne sile dovodi do činjenice da hipoteze na kojima se temelje zaključci gube snagu. Međutim, praksa proračuna pokazuje da čak i tijekom poprečnog savijanja greda i okvira, kada u presjeku, osim momenta savijanja, postoji i uzdužna sila i poprečna sila, moguće je koristiti formule dane za čistu savijanje. Greška je beznačajna.

Određivanje posmičnih sila i momenata savijanja.

Kao što je već spomenuto, s ravnim poprečnim savijanjem u presjeku grede nastaju dva faktora unutarnje sile i.

Prije određivanja određuju se reakcije nosača grede (slika 6.3, a), sastavljajući jednadžbe statičke ravnoteže.

Za određivanje i primjenjujemo metodu presjeka. Na mjestu koje nas zanima napravit ćemo mentalni rez grede, na primjer, na udaljenosti od lijevog nosača. Odbacimo jedan od dijelova grede, na primjer desni, i razmotrimo ravnotežu lijevog dijela (slika 6.3, b). Zamijenimo međudjelovanje dijelova grede unutarnjim silama i.

Uspostavimo sljedeća pravila znakova za i:

• Transverzalna sila u presjeku je pozitivna ako njeni vektori teže rotirati presjek koji se razmatra u smjeru kazaljke na satu;
• Moment savijanja u presjeku je pozitivan ako uzrokuje kompresiju gornjih vlakana.

Riža. .

Za određivanje tih sila koristimo dvije jednadžbe ravnoteže:

1. ; ; .

2. ;

Tako,

a) poprečna sila u presjeku grede brojčano je jednaka algebarskom zbroju projekcija na poprečnu os presjeka svih vanjskih sila koje djeluju s jedne strane presjeka;

b) moment savijanja u presjeku grede brojčano je jednak algebarskom zbroju momenata (izračunatih u odnosu na težište presjeka) vanjskih sila koje djeluju s jedne strane zadanog presjeka.

U praktičnim proračunima obično se rukovode sljedećim:

1. Ako vanjsko opterećenje nastoji rotirati gredu u smjeru kazaljke na satu u odnosu na razmatrani odjeljak (slika 6.4, b), tada u izrazu za to daje pozitivan izraz.
2. Ako vanjsko opterećenje stvara moment u odnosu na dio koji se razmatra, uzrokujući kompresiju gornjih vlakana grede (slika 6.4, a), tada u izrazu za u ovom odjeljku daje pozitivan izraz.

Riža. .

Konstrukcija dijagrama u gredama.

Razmotrite gredu s dvije potpore(Sl. 6.5, a) . Na gredu u točki djeluje koncentrirani moment, u točki koncentrirana sila, a u presjeku jednoliko raspodijeljeno opterećenje intenziteta.

Odredimo reakcije podrške i(Sl. 6.5, b) . Rezultanta raspodijeljenog opterećenja je jednaka, a njezina linija djelovanja prolazi središtem presjeka. Napravimo momentne jednadžbe o točkama i.

Odredimo silu smicanja i moment savijanja u proizvoljnom presjeku koji se nalazi u presjeku na udaljenosti od točke A(Sl. 6.5, c) .

(Slika 6.5, d). Udaljenost može varirati unutar ().

Vrijednost poprečne sile ne ovisi o koordinatama presjeka, stoga su u svim presjecima presjeka poprečne sile iste i dijagram izgleda kao pravokutnik. Moment savijanja

Moment savijanja varira linearno. Odredimo ordinate dijagrama za granice mjesta.

Odredimo silu smicanja i moment savijanja u proizvoljnom presjeku koji se nalazi u presjeku na udaljenosti od točke(Slika 6.5, d). Udaljenost može varirati unutar ().

Transverzalna sila varira linearno. Odredimo granice mjesta.

Moment savijanja

Dijagram momenata savijanja u ovom dijelu bit će paraboličan.

Da bismo odredili ekstremnu vrijednost momenta savijanja, izjednačimo s nulom izvod momenta savijanja duž apscise presjeka:

Odavde

Za presjek s koordinatom vrijednost momenta savijanja bit će

Kao rezultat toga dobivamo dijagrame poprečnih sila(Sl. 6.5, f) i momenti savijanja (Sl. 6.5, g).

Diferencijalne ovisnosti pri savijanju.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Ove ovisnosti omogućuju utvrđivanje nekih značajki dijagrama momenata savijanja i posmičnih sila:

N au područjima gdje nema raspodijeljenog opterećenja, dijagrami su ograničeni na ravne linije paralelne s nultom linijom dijagrama, a dijagrami su u općem slučaju nagnute ravne crte.

N au područjima gdje se na gredu primjenjuje jednoliko raspoređeno opterećenje, dijagram je ograničen nagnutim ravnim linijama, a dijagram je ograničen kvadratnim parabolama s konveksitetom okrenutim u smjeru suprotnom od smjera opterećenja..

U sekcije, gdje je tangenta na dijagram paralelna s nultom linijom dijagrama.

N iu područjima gdje se moment povećava; u područjima gdje se moment smanjuje.

U presjeci gdje su koncentrirane sile na gredu, dijagram će prikazati skokove za veličinu primijenjenih sila, a dijagram će prikazati lomove.

U dijelovima gdje se na gredu primjenjuju koncentrirani momenti, dijagram će pokazati skokove u veličini tih momenata.

Ordinate dijagrama proporcionalne su tangensu kuta nagiba tangente na dijagram.

1. Ravno čisto savijanje Poprečno savijanje je deformacija štapa silama okomitim na os (poprečno) i u parovima, čije su ravnine djelovanja okomite na normalne presjeke. Šipka za savijanje naziva se greda. S izravnim čistim savijanjem u presjeku štapa nastaje samo jedan faktor sile - moment savijanja Mz. Budući da je Qy=d. Mz/dx=0, zatim Mz=const i čisto ravno savijanje može se ostvariti kada je šipka opterećena parovima sila primijenjenih u krajnjim dijelovima šipke. σ Budući da je moment savijanja Mz po definiciji jednak zbroju momenata unutarnjih sila u odnosu na os Oz s normalnim naprezanjima, povezuje ga statička jednadžba koja slijedi iz ove definicije:

Analiza stanja naprezanja tijekom čistog savijanja Analizirajmo deformacije modela štapa na čijoj je bočnoj površini nanesena mreža uzdužnih i poprečnih oznaka: Budući da poprečne oznake kada je štap savijen parovima sila koji djeluju na kraju, presjeci ostaju ravni i okomiti na zakrivljene uzdužne oznake, to nam omogućuje da zaključimo da hipoteze ravnih presjeka, pa stoga Mjerenjem promjene udaljenosti između uzdužnih rizika, dolazimo do zaključka da je hipoteza o nepritisku vrijedi uzdužna vlakna, tj. od svih komponenti tenzora naprezanja pri čistom savijanju samo naprezanje σx=σ i čisto ravno savijanje prizmatičnog štapa nisu jednaki nuli svodi se na jednoosni napon ili sabijanje uzdužnog vlakna naprezanjima σ. U ovom slučaju dio vlakana je u zoni napetosti (na slici su to donja vlakna), a drugi dio u zoni kompresije (gornja vlakna). Ove zone su odvojene neutralnim slojem (n-n), koji ne mijenja svoju duljinu, a naprezanja u kojima su nula.

Pravilo predznaka momenata savijanja Pravilo predznaka momenata u problemima teorijske mehanike i čvrstoće materijala se ne poklapaju. Razlog tome je razlika u procesima koji se razmatraju. U teorijskoj mehanici, proces koji se razmatra je gibanje ili ravnoteža čvrste tvari, dakle, dva momenta na slici koji teže rotaciji Mz šipke u različitim smjerovima (desni moment u smjeru kazaljke na satu, a lijevi moment u suprotnom smjeru) imaju problema u teorijskoj mehanici drugačiji znak. U problemima čvrstoće razmatraju se naprezanja i deformacije koje se javljaju u tijelu. S ove točke gledišta, oba momenta uzrokuju tlačna naprezanja u gornjim vlaknima i vlačna naprezanja u donjim vlaknima, tako da momenti imaju isti predznak. Pravila za znakove momenata savijanja u vezi odjeljci C-C prikazani su na dijagramu:

Izračun vrijednosti naprezanja za čisto savijanje Izvedimo formule za izračunavanje polumjera zakrivljenosti neutralnog sloja i normalnih naprezanja u šipki. Razmotrimo prizmatičnu šipku u uvjetima izravnog čistog savijanja s presjekom simetričnim u odnosu na okomitu os Oy. Os Ox postavljamo na neutralni sloj, čiji je položaj unaprijed nepoznat. Imajte na umu da stalnost presjeka prizmatičnog štapa i momenta savijanja (Mz=const) osigurava stalnost polumjera zakrivljenosti neutralnog sloja duž duljine štapa. Pri savijanju s konstantnom zakrivljenošću neutralni sloj štapa postaje kružni luk ograničen kutom φ. Razmotrimo infinitezimalni element duljine dx izrezan iz šipke. Prilikom savijanja pretvorit će se u infinitezimalni lučni element ograničen infinitezimalnim kutom dφ. φ ρ dφ Uzimajući u obzir odnose između polumjera kružnice, kuta i duljine luka:

Budući da su od interesa deformacije elementa, određene relativnim pomakom njegovih točaka, jedan od krajnjih presjeka elementa može se smatrati stacionarnim. Zbog malenosti dφ, pretpostavljamo da se točke presjeka, kada se zakrenu za taj kut, ne kreću duž lukova, već duž odgovarajućih tangenti. Izračunajmo relativnu deformaciju uzdužnog vlakna AB, smještenog na y od neutralnog sloja: Iz sličnosti trokuta COO 1 i O 1 BB 1, slijedi da je: Pokazalo se da je uzdužna deformacija linearna funkcija udaljenosti iz neutralnog sloja, što je izravna posljedica zakona ravninskih presjeka. Tada će normalno vlačno naprezanje vlakna AB, temeljeno na Hookeovom zakonu, biti jednako:

Dobivena formula nije prikladna za praktičnu upotrebu, budući da sadrži dvije nepoznanice: zakrivljenost neutralnog sloja 1/ρ i položaj neutralne osi Ox, od koje se mjeri y koordinata. Za određivanje ovih nepoznanica koristit ćemo se jednadžbama statike ravnoteže. Prvi izražava zahtjev da uzdužna sila bude jednaka nuli. Zamjenom izraza za σ u ovu jednadžbu: i uzimajući to u obzir, dobivamo da: Integral na lijevoj strani ove jednadžbe predstavlja statički moment poprečnog presjeka. štapa u odnosu na neutralnu os Ox, koja može biti jednaka nuli samo u odnosu na središnju os (os koja prolazi kroz težište presjeka). Dakle, neutralna os Ox prolazi kroz težište poprečnog presjeka. Druga jednadžba statičke ravnoteže je ona koja povezuje normalna naprezanja s momentom savijanja. Zamjenom izraza za naprezanja u ovu jednadžbu dobivamo:

Integral u dobivenoj jednadžbi prethodno je proučavan: Jz je moment tromosti u odnosu na os Oz. Sukladno odabranom položaju koordinatnih osi, to je i glavni središnji moment tromosti presjeka. Dobivamo formulu za zakrivljenost neutralnog sloja: Zakrivljenost neutralnog sloja 1/ρ je mjera deformacije štapa tijekom ravnog čistog savijanja. Što je veća vrijednost EJz, koja se naziva krutost poprečnog presjeka tijekom savijanja, to je manja zakrivljenost. Zamjenom izraza u formulu za σ, dobivamo: Dakle, normalna naprezanja tijekom čistog savijanja prizmatičnog štapa su linearna funkcija y koordinate i dosežu najviše vrijednosti u vlaknima koja su najudaljenija od neutralne osi. geometrijska karakteristika s dimenzijom m 3 naziva se moment otpora pri savijanju.

Određivanje momenata otpora Wz poprečnih presjeka - Za najjednostavnije brojke u priručniku (Lekcija 4) ili izračunajte sami - Za standardne profile u GOST rasponu

Proračun čvrstoće za čisto savijanje Projektni proračun Uvjet čvrstoće za proračun čistog savijanja imat će oblik: Od ovo stanje Određuje se Wz, a zatim se odabire željeni profil iz niza standardnih valjanih proizvoda ili se izračunavaju dimenzije presjeka pomoću geometrijskih ovisnosti. Pri proračunu greda izrađenih od krhkih materijala potrebno je razlikovati najveća vlačna i najveća tlačna naprezanja koja se uspoređuju s dopuštenim vlačnim i tlačnim naprezanjima. U ovom slučaju postojat će dva uvjeta čvrstoće, odvojeno za vlačnost i tlačnost: Ovdje su dopuštena vlačna i tlačna naprezanja.

2. Izravno poprečno savijanje τxy τxz σ Pri izravnom poprečnom savijanju u presjecima štapa nastaju moment savijanja Mz i poprečna sila Qy, koji su povezani s normalnim i tangencijalnim naprezanjem.Izvedena formula za slučaj čistog savijanja šipka za proračun normalnih naprezanja u slučaju izravnog poprečnog savijanja, strogo govoreći, nije primjenjiva, jer zbog pomaka uzrokovanih tangencijalnim naprezanjima dolazi do deplanacije (zakrivljenosti) poprečnih presjeka, odnosno narušava se hipoteza ravnih presjeka. Međutim, za grede visine presjeka h

Pri izvođenju uvjeta čvrstoće za čisto savijanje korištena je hipoteza o nepostojanju transverzalnog međudjelovanja uzdužnih vlakana. Pri poprečnom savijanju opažaju se odstupanja od ove hipoteze: a) na mjestima gdje djeluju koncentrirane sile. Pod koncentriranom silom, poprečna međudjelovanja σy mogu biti prilično velika i mnogo puta veća od uzdužnih naprezanja, smanjujući se, u skladu sa Saint-Venantovim načelom, s udaljenošću od točke primjene sile; b) na mjestima gdje se primjenjuju raspodijeljena opterećenja. Dakle, u slučaju prikazanom na sl., naprezanje je posljedica pritiska na gornja vlakna grede. Uspoređujući ih s uzdužnim naprezanjima σz, koja su reda veličine: dolazimo do zaključka da naprezanja σy

Proračun tangencijalnih naprezanja pri izravnom poprečnom savijanju Pretpostavimo da su tangencijalna naprezanja ravnomjerno raspoređena po širini poprečnog presjeka. Izravno određivanje naprezanja τyx je teško, stoga nalazimo jednaka tangencijalna naprezanja τxy koja nastaju na uzdužnom području s koordinatom y elementa duljine dx izrezanog iz grede z x Mz

Od ovog elementa, s uzdužnim presjekom udaljenim od neutralnog sloja za y, odrežemo gornji dio, zamjenjujući djelovanje odbačenog donjeg dijela s tangencijalnim naprezanjima τ. Također ćemo zamijeniti normalna naprezanja σ i σ+dσ koja djeluju na čeonim područjima elementa s rezultantnim naprezanjima y Mz τ Mz+d. Mz prema ω y z Qy Qy +d. Qy dx Nω+d Nω d. T je statički moment odsječenog dijela površine poprečnog presjeka ω u odnosu na os Oz. Razmotrimo uvjet ravnoteže rezanog elementa sastavljanjem za njega statičke jednadžbe Nω dx b

odakle se, nakon jednostavnih transformacija, uzimajući u obzir da dobivamo Zhuravskyjevu formulu Tangencijalna naprezanja duž visine presjeka mijenjaju se prema zakonu kvadratne parabole, postižući maksimum na neutralnoj osi Mz z Uzimajući u obzir da nastaju najveća normalna naprezanja u najudaljenijim vlaknima, gdje nema tangencijalnih naprezanja, a najveća tangencijalna naprezanja u U mnogim slučajevima, ona se odvijaju u neutralnom sloju, gdje su normalna naprezanja jednaka nuli, uvjeti čvrstoće u tim slučajevima formulirani su odvojeno za normalne i smična naprezanja

3. Spregnuti nosači na savijanje Tangencijalni naponi u uzdužnim presjecima su izraz postojeći priključak između slojeva štapa tijekom poprečnog savijanja. Ako se ta veza u nekim slojevima prekine, priroda savijanja štapa se mijenja. U šipki sastavljenoj od ploča, svaka se ploča neovisno savija bez djelovanja sila trenja. Moment savijanja ravnomjerno je raspoređen između kompozitnih ploča. Maksimalna vrijednost moment savijanja bit će u sredini grede i bit će jednak. Mz=P l. Najveće normalno naprezanje u presjeku lima jednako je:

Ako su listovi čvrsto zategnuti dovoljno čvrstim vijcima, šipka će se saviti kao cjelina. U ovom slučaju, maksimalno normalno naprezanje ispada da je n puta manje, tj. U poprečnim presjecima vijaka, kada je šipka savijena, nastaju poprečne sile. Najveća posmična sila bit će u presjeku koji se podudara s neutralnom ravninom zakrivljene šipke.

Ta se sila može odrediti iz jednakosti zbroja poprečnih sila u presjecima vijaka i uzdužnih rezultanta tangencijalnih naprezanja u slučaju cijele šipke: gdje je m broj vijaka. Usporedimo promjenu zakrivljenosti šipke u brtvi u slučaju povezanih i nepovezanih paketa. Za spojeni paket: Za nepovezani paket: Proporcionalno promjenama u zakrivljenosti, progibi se također mijenjaju. Dakle, u usporedbi s cijelim štapom, skup labavo presavijenih listova ispada da je n 2 puta fleksibilniji i samo n puta manje čvrst. Ova razlika u koeficijentima smanjenja krutosti i čvrstoće pri prelasku na paket lima koristi se u praksi pri stvaranju fleksibilnih opružnih ovjesa. Sile trenja između ploča povećavaju krutost paketa, jer djelomično obnavljaju tangencijalne sile između slojeva šipke, koje su eliminirane prilikom pomicanja na paket listova. Opruge stoga zahtijevaju podmazivanje listova i treba ih zaštititi od onečišćenja.

4. Racionalni oblici presjeka pri savijanju Najracionalniji je presjek koji ima najmanju površinu za zadano opterećenje grede. U tom će slučaju potrošnja materijala za izradu grede biti minimalna. Da bi se dobila greda s minimalnim utroškom materijala, mora se nastojati osigurati da najveći mogući volumen materijala radi pri naprezanjima jednakima ili blizu dopuštenih. Prije svega, racionalni presjek grede pri savijanju mora zadovoljiti uvjet jednake čvrstoće vlačne i stlačene zone grede. Za to je potrebno da najveća vlačna i tlačna naprezanja istovremeno dosegnu dopuštena naprezanja. Dolazimo do presjeka koji je racionalan za plastični materijal u obliku simetričnog I-nosača, u kojem je najveći mogući dio materijala koncentriran na rubovima spojenim stijenkom, čija se debljina određuje iz uvjeta čvrstoće zida u smislu tangencijalnih naprezanja. . Prema kriteriju racionalnosti I-presjeku je blizak takozvani kutijasti presjek

Za grede izrađene od krhkog materijala najracionalniji presjek će biti u obliku asimetričnog I-nosača, koji zadovoljava uvjet jednake čvrstoće na vlak i pritisak, što proizlazi iz zahtjeva. Ideja racionalnosti presjek šipki tijekom savijanja izvodi se u standardnim profilima tankih stijenki dobivenim vrućim prešanjem ili valjanjem od običnih i legiranih visokokvalitetnih konstrukcijskih čelika, kao i aluminija i aluminijskih legura. a-I-greda, b-kanal, c-nejednaki kut, hladno oblikovani zatvoreni d-jednaki kut. zavareni profili

Hipoteza ravnih presjeka pri savijanju može se objasniti na primjeru: nanesemo na bočnu plohu nedeformirane grede mrežu koja se sastoji od uzdužnih i poprečnih (okomitih na os) ravnih linija. Uslijed savijanja grede, uzdužne linije će poprimiti zakrivljen obris, dok će poprečne linije praktički ostati ravne i okomite na zakrivljenu os grede.

Formulacija hipoteze o ravninskom presjeku: poprečni presjeci koji su ravni i okomiti na os grede prije, ostaju ravni i okomiti na zakrivljenu os nakon što se deformira.

Ova okolnost ukazuje: kada se ispuni hipoteza ravninskog presjeka, kao i s i

Uz hipotezu o ravnim presjecima, prihvaća se pretpostavka: uzdužna vlakna grede ne pritišću jedna na drugu kada se ona savija.

Hipoteza i pretpostavka ravninskog presjeka nazivaju se Bernoullijeva hipoteza.

Razmotrite gredu pravokutnog poprečnog presjeka koja je podvrgnuta čistom savijanju (). Izaberimo element grede s duljinom (sl. 7.8.a). Kao rezultat savijanja, poprečni presjeci grede će se okretati, tvoreći kut. Gornja vlakna doživljavaju kompresiju, a donja vlakna doživljavaju napetost. Radijus zakrivljenosti neutralnog vlakna označavamo kao .

Uobičajeno, pretpostavljamo da vlakna mijenjaju svoju duljinu dok ostaju ravna (slika 7.8. b). Zatim apsolutna i relativna produljenja vlakna koje se nalazi na udaljenosti y od neutralnog vlakna:

Pokažimo da kroz glavnu središnju os x prolaze uzdužna vlakna, koja ne doživljavaju ni napetost ni kompresiju kada se greda savija.

Budući da se duljina grede ne mijenja tijekom savijanja, uzdužna sila (N) koja nastaje u presjeku mora biti nula. Elementarna uzdužna sila.

S obzirom na izraz :

Faktor se može uzeti izvan predznaka integrala (ne ovisi o integracijskoj varijabli).

Izraz predstavlja presjek grede oko neutralne x-osi. Ona je nula kada neutralna os prolazi kroz težište poprečnog presjeka. Prema tome, neutralna os ( nulta linija) pri savijanju greda prolazi kroz težište poprečnog presjeka.

Očito: moment savijanja povezan je s normalnim naprezanjima koja nastaju u točkama poprečnog presjeka štapa. Elementarni moment savijanja stvoren elementarnom silom:

,

gdje je aksijalni moment tromosti poprečnog presjeka u odnosu na neutralnu x-os, a omjer je zakrivljenost osi grede.

Krutost grede u savijanju(što je veći, manji je radijus zakrivljenosti).

Dobivena formula predstavlja Hookeov zakon savijanja štapa: Moment savijanja koji se javlja u presjeku proporcionalan je zakrivljenosti osi grede.

Izražavanje polumjera zakrivljenosti () iz formule Hookeovog zakona za štap tijekom savijanja i zamjena njegove vrijednosti u formulu , dobivamo formulu za normalna naprezanja () u proizvoljnoj točki u presjeku grede, koja se nalazi na udaljenosti y od neutralne osi x: .

U formuli za normalna naprezanja () u proizvoljnoj točki u presjeku grede treba zamijeniti apsolutne vrijednosti momenta savijanja () i udaljenost od točke do neutralne osi (y koordinate). Hoće li naprezanje u određenoj točki biti vlačno ili tlačno može se lako odrediti prema prirodi deformacije grede ili prema dijagramu momenata savijanja čije su ordinate ucrtane na strani stisnutih vlakana grede.

Iz formule je jasno: normalna naprezanja () mijenjaju se duž visine poprečnog presjeka grede prema linearnom zakonu. Na sl. 7.8, prikazuje dijagram. Najveća naprezanja tijekom savijanja grede javljaju se u točkama koje su najudaljenije od neutralne osi. Ako se u presjeku grede povuče pravac paralelan s neutralnom osi x, tada na svim njezinim točkama nastaju jednaka normalna naprezanja.

Jednostavna analiza normalni dijagrami naprezanja pokazuje da kada se greda savija, materijal koji se nalazi blizu neutralne osi praktički ne radi. Stoga, kako bi se smanjila težina grede, preporuča se odabrati oblike poprečnog presjeka u kojima je većina materijala uklonjena s neutralne osi, kao što je I-presjek.

Čisti zavoj Ova vrsta savijanja naziva se u kojoj se radnja odvija samo moment savijanja(Sl. 3.5, A). Mentalno nacrtajmo presječnu ravninu I-I okomito na uzdužnu os grede na udaljenosti * od slobodnog kraja grede na koji se primjenjuje vanjski moment m z . Provedimo radnje slične onima koje smo izvršili pri određivanju naprezanja i deformacija tijekom torzije, naime:

• 1) sastavimo jednadžbe ravnoteže za mentalno odsječeni dio dijela;
• 2) određujemo deformaciju materijala dijela na temelju uvjeta kompatibilnosti deformacija elementarnih volumena danog presjeka;
• 3) riješiti jednadžbe ravnoteže i kompatibilnosti deformacija.

Iz uvjeta ravnoteže odsječenog dijela grede (Sl. 3.5, b)

nalazimo da moment unutarnjih sila M z jednak momentu vanjskih sila t: M = t.

Riža. 3.5.

Moment unutarnjih sila stvaraju normalna naprezanja o v usmjerena duž x osi. Kod čistog savijanja nema vanjskih sila, stoga je zbroj projekcija unutarnjih sila na bilo koju koordinatnu os jednak nuli. Na temelju toga uvjete ravnoteže zapisujemo u obliku jednakosti

Gdje A- površina poprečnog presjeka grede (šipke).

Kod čistog savijanja vanjske sile Fx, F, Fv kao i momenti vanjskih sila t x, t y jednaki su nuli. Stoga su preostale jednadžbe ravnoteže identički jednake nuli.

Iz uvjeta ravnoteže kada o^O slijedi da

normalni napon c x u presjeku poprimaju i pozitivne i negativne vrijednosti. (Iskustvo pokazuje da kod savijanja materijala donja strana drvo na sl. 3.5, A rastegnut, a gornji je sabijen.) Posljedično, u presjeku pri savijanju postoje takvi elementarni volumeni (prijelaznog sloja iz tlačnog u vlačni) u kojima nema istezanja niti kompresije. ovo - neutralni sloj. Linija presjeka neutralnog sloja s ravninom presjeka naziva se neutralna linija.

Uvjeti kompatibilnosti deformacija elementarnih volumena tijekom savijanja formiraju se na temelju hipoteze ravnih presjeka: poprečni presjeci grede su ravni prije savijanja (vidi sl. 3.5, b) ostat će ravna čak i nakon savijanja (slika 3.6).

Kao rezultat djelovanja vanjskog momenta greda se savija, a ravnine odjeljci I-I i II-II zakrenuti jedan prema drugom za kut dy(Sl. 3.6, b). Kod čistog savijanja deformacija svih presjeka duž osi grede je ista, stoga je polumjer pk zakrivljenosti neutralnog sloja grede duž osi x isti. Jer dx= str K pad, tada je zakrivljenost neutralnog sloja jednaka 1 / p k = umočiti / dx i konstantna je duž duljine grede.

Neutralni sloj nije deformiran, njegova duljina prije i poslije deformacije jednaka je dx. Ispod ovog sloja materijal je rastegnut, iznad je sabijen.

Riža. 3.6.

Vrijednost istezanja istegnutog sloja koji se nalazi na udaljenosti y od neutralnog jednaka je ydq. Relativno izduženje ovog sloja:

Tako se u usvojenom modelu dobiva linearna raspodjela deformacija ovisno o udaljenosti zadanog elementarnog volumena od neutralnog sloja, tj. po visini presjeka grede. Pod pretpostavkom da ne postoji međusobni pritisak paralelnih slojeva materijala jedan na drugi (o y = 0, a, = 0), pišemo Hookeov zakon za linearno istezanje:

Prema (3.13) normalni naponi u presjeku grede raspoređeni su po linearnom zakonu. Naprezanje elementarnog volumena materijala najudaljenijeg od neutralnog sloja (Sl. 3.6, V), maksimalno i jednako

? Problem 3.6

Odredite granicu elastičnosti čelične oštrice debljine / = 4 mm i duljine / = 80 cm, ako njezino savijanje u polukrug ne uzrokuje zaostalu deformaciju.

Riješenje

Napon savijanja o v = Ej/ r k. Uzmimo y max = t/ 2i r k = / / Do.

Granica elastičnosti mora odgovarati uvjetu s up > c v = 1 / 2 kE t /1.

Odgovor: o = ] / 2 do 2 10 11 4 10 _3 / 0,8 = 1570 MPa; Granica razvlačenja ovog čelika je a t > 1800 MPa, što premašuje a t najčvršćih čelika za opruge. ?

? Problem 3.7

Odrediti minimalni radijus bubnja za namotavanje trake debljine / = 0,1 mm grijaće tijelo izrađena od legure nikla, u kojoj materijal trake nije plastično deformiran. Modul E= 1,6 10 5 MPa, granica elastičnosti oko yp = 200 MPa.

Odgovor: minimalni radijus r = V 2 ?ir/a yM = U? 1,6-10 11 0,1 10 -3 / (200 10 6) = = 0,04 m?

1. Kada zajedno rješavamo prvu jednadžbu ravnoteže (3.12) i jednadžbu kompatibilnosti deformacije (3.13), dobivamo

Značenje E/ r k φ 0 i isti za sve elemente dA integracijska područja. Prema tome, ova jednakost je zadovoljena samo pod uvjetom

Ovaj integral se zove statički moment površine poprečnog presjeka oko osiz? Koje je fizičko značenje ovog integrala?

Uzmimo ploču konstantne debljine /, ali proizvoljnog profila (sl. 3.7). Objesimo ovu ploču na jednu točku S tako da bude u vodoravnom položaju. Označimo simbolom y m specifičnu težinu materijala ploče, zatim težinu elementarnog volumena s površinom dA jednaki dq= g JdA. Budući da je ploča u stanju ravnoteže, tada iz jednakosti na nulu projekcija sila na os na dobivamo

Gdje G= g M tA- težina zapisa.

Riža. 3.7.

Zbroj momenata sila svih sila oko osi z prolazeći kroz bilo koji dio ploče također je nula:

S obzirom na to Yc = G, zapišimo

Dakle, ako je integral oblika J xdA po površini A jednaki

nula, dakle x c = 0. To znači da se točka C poklapa s težištem ploče. Dakle, iz jednakosti S z = J ydA = 0 kada dospije

savijanja proizlazi da je težište presjeka grede na neutralnoj liniji.

Prema tome, vrijednost y s presjek grede je nula.

• 1. Neutralna linija pri savijanju prolazi kroz težište presjeka grede.
• 2. Težište presjeka je središte redukcije momenata vanjskih i unutarnjih sila.

Problem 3.8

Problem 3.9

2. Kada zajedno rješavamo drugu jednadžbu ravnoteže (3.12) i jednadžbu kompatibilnosti deformacije (3.13), dobivamo

Sastavni J z= J y 2 dA nazvao moment tromosti poprečnog

presjek grede (šipke) u odnosu na os z, koja prolazi kroz težište presjeka.

Tako, M z = E J z / r k. S obzirom na to c x = Ee x = Ey/ r k i E/ r k = a x / y, dobivamo ovisnost normalnih naprezanja Oh pri savijanju:

1. Naprezanje na savijanje u određenoj točki presjeka ne ovisi o normalnom modulu elastičnosti E, ali ovisi o geometrijskom parametru presjeka J z i udaljenosti na od zadane točke do težišta presjeka.

2. Maksimalno naprezanje tijekom savijanja događa se u elementarnim volumenima koji su najudaljeniji od neutralne linije (vidi sl. 3.6, V):

Gdje W z- moment otpora poprečnog presjeka u odnosu na os Z-

Uvjet za čvrstoću pri čistom savijanju sličan je uvjetu za čvrstoću pri linearnoj napetosti:

gdje [a m | - dopušteno naprezanje na savijanje.

Očito je da unutarnji volumeni materijala, posebno u blizini neutralne osi, praktički nisu opterećeni (vidi sl. 3.6, V). To je u suprotnosti sa zahtjevom da se smanji potrošnja materijala za konstrukciju. U nastavku ćemo pokazati neke načine za prevladavanje ove kontradikcije.

Da bi se vizualno prikazala priroda deformacije greda (šipki) tijekom savijanja, provodi se sljedeći eksperiment. Na bočnim rubovima gumene grede pravokutni presjek nanosi se mreža linija paralelno i okomito na os grede (Sl. 30.7, a). Zatim se momenti primjenjuju na gredu na njezinim krajevima (sl. 30.7, b), djelujući u ravnini simetrije grede, presijecajući svaki od njegovih presjeka duž jedne od glavnih središnjih osi tromosti. Ravnina koja prolazi kroz os grede i jednu od glavnih središnjih osi tromosti svakog od njegovih presjeka nazvat ćemo glavnom ravninom.

Pod utjecajem trenutaka, greda doživljava ravni čisti zavoj. Kao rezultat deformacije, kao što pokazuje iskustvo, linije mreže paralelne s osi grede su savijene, održavajući iste udaljenosti između njih. Kada je naznačeno na sl. 30.7, b u smjeru momenata, ove linije u gornjem dijelu grede su produljene, au donjem dijelu su skraćene.

Svaka crta mreže okomita na os grede može se smatrati tragom ravnine nekog presjeka grede. Budući da ove linije ostaju ravne, može se pretpostaviti da poprečni presjeci grede, ravni prije deformacije, ostaju ravni tijekom deformacije.

Ova pretpostavka, temeljena na iskustvu, poznata je kao hipoteza ravninskih presjeka ili Bernoullijeva hipoteza (vidi § 6.1).

Hipoteza ravnih presjeka odnosi se ne samo na čisto savijanje, već i na poprečno savijanje. Za poprečno savijanje on je približan, a za čisto savijanje je strog, što potvrđuju teorijska istraživanja provedena metodama teorije elastičnosti.

Razmotrimo sada ravnu gredu s poprečnim presjekom simetričnim oko vertikalne osi, ugrađenu na desnom kraju i opterećenu na lijevom kraju vanjskim momentom koji djeluje u jednoj od glavnih ravnina grede (slika 31.7). U svakom presjeku ove grede pojavljuju se samo momenti savijanja koji djeluju u istoj ravnini kao moment

Dakle, greda je u stanju ravnog, čistog savijanja cijelom svojom dužinom. Pojedinačni dijelovi grede mogu biti u stanju čistog savijanja čak i ako su izloženi poprečnim opterećenjima; na primjer, dio 11 grede prikazan na sl. doživljava čisto savijanje. 32.7; u presjecima ovog presjeka sila smicanja

Od grede koja se razmatra (vidi sl. 31.7) odabiremo element duljine . Kao rezultat deformacije, kao što slijedi iz Bernoullijeve hipoteze, presjeci će ostati ravni, ali će se nagnuti jedan prema drugom pod određenim kutom.Uzmimo lijevi presjek uvjetno kao stacionarni. Zatim, kao rezultat rotacije desnog dijela kroz kut, on će zauzeti položaj (Sl. 33.7).

Ravne linije će se presijecati u određenoj točki A, koja je središte zakrivljenosti (ili, točnije, trag osi zakrivljenosti) uzdužnih vlakana elementa. Gornja vlakna dotičnog elementa kada su prikazana na sl. 31.7 u smjeru momenta produžuju se, a donji se skraćuju. Vlakna nekog međusloja okomita na ravninu djelovanja momenta zadržavaju svoju duljinu. Ovaj sloj se naziva neutralni sloj.

Označimo radijus zakrivljenosti neutralnog sloja, tj. udaljenost od ovog sloja do središta zakrivljenosti A (vidi sl. 33.7). Razmotrimo određeni sloj koji se nalazi na udaljenosti y od neutralnog sloja. Apsolutno izduženje vlakana ovog sloja jednako je i relativnom izduženju

Razmatrajući slične trokute utvrđujemo da je dakle,

U teoriji savijanja pretpostavlja se da se uzdužna vlakna grede ne pritišću jedna na drugu. Eksperimentalni i teorijsko istraživanje pokazuju da ova pretpostavka ne utječe značajno na rezultate proračuna.

Kod čistog savijanja ne nastaju posmična naprezanja u presjecima grede. Dakle, sva vlakna u čistom savijanju su u uvjetima jednoosne napetosti ili kompresije.

Prema Hookeovom zakonu, za slučaj jednoosne napetosti ili kompresije, normalno naprezanje o i odgovarajuća relativna deformacija povezani su ovisnošću

ili na temelju formule (11.7)

Iz formule (12.7) proizlazi da su normalna naprezanja u uzdužnim vlaknima grede izravno proporcionalna njihovim udaljenostima y od neutralnog sloja. Prema tome, u poprečnom presjeku grede u svakoj točki, normalna naprezanja su proporcionalna udaljenosti y od ove točke do neutralne osi, koja je linija presjeka neutralnog sloja s poprečnim presjekom (Sl.

34.7, a). Iz simetrije grede i opterećenja proizlazi da je neutralna os vodoravna.

U točkama neutralne osi normalna naprezanja su nula; s jedne strane neutralne osi su vlačne, a s druge tlačne.

Dijagram naprezanja o je grafikon omeđen ravnom linijom, s najvećim apsolutnim vrijednostima naprezanja za točke koje su najudaljenije od neutralne osi (sl. 34.7b).

Razmotrimo sada uvjete ravnoteže odabranog grednog elementa. Predstavimo djelovanje lijevog dijela grede na presjek elementa (vidi sl. 31.7) u obliku momenta savijanja; preostale unutarnje sile u ovom dijelu s čistim savijanjem jednake su nuli. Zamislimo djelovanje desne strane grede na poprečni presjek elementa u obliku elementarnih sila koje djeluju na svako elementarno područje poprečnog presjeka (slika 35.7) i paralelno s osi elementa. greda.

Stvorimo šest uvjeta ravnoteže za element

Ovdje su zbrojevi projekcija svih sila koje djeluju na element, odnosno na osi - zbrojevi momenata svih sila u odnosu na osi (slika 35.7).

Os se poklapa s neutralnom osi presjeka, a os y je okomita na nju; obje ove osi nalaze se u ravnini presjeka

Elementarna sila ne stvara projekcije na y-osi i ne uzrokuje moment oko osi. Stoga su jednadžbe ravnoteže zadovoljene za bilo koju vrijednost o.

Jednadžba ravnoteže ima oblik

Zamijenimo vrijednost a u jednadžbu (13.7) prema formuli (12.7):

Budući da (razmatra se element zakrivljene grede, za koji), tada

Integral predstavlja statički moment presjeka grede oko neutralne osi. Njegova jednakost nuli znači da neutralna os (tj. os) prolazi kroz težište poprečnog presjeka. Dakle, težište svih presjeka grede, a time i os grede, koja je geometrijsko mjesto težišta, nalaze se u neutralnom sloju. Stoga je polumjer zakrivljenosti neutralnog sloja polumjer zakrivljenosti zakrivljene osi grede.

Sastavimo sada jednadžbu ravnoteže u obliku zbroja momenata svih sila koje djeluju na element grede u odnosu na neutralnu os:

Ovdje predstavlja moment elementarne unutarnje sile u odnosu na os.

Označimo površinu poprečnog presjeka grede koja se nalazi iznad neutralne osi - ispod neutralne osi.

Tada će predstavljati rezultantu elementarnih sila primijenjenih iznad neutralne osi, ispod neutralne osi (slika 36.7).

Obje ove rezultante jednake su jedna drugoj u apsolutnoj vrijednosti, jer je njihov algebarski zbroj, temeljen na uvjetu (13.7), jednak nuli. Te rezultante čine unutarnji par sila koje djeluju u presjeku grede. Moment ovog para sila, jednak umnošku veličine jedne od njih i udaljenosti između njih (sl. 36.7), je moment savijanja u presjeku grede.

Zamijenimo vrijednost a u jednadžbu (15.7) prema formuli (12.7):

Ovdje predstavlja aksijalni moment tromosti, tj. os koja prolazi kroz težište presjeka. Stoga,

Zamijenimo vrijednost iz formule (16.7) u formulu (12.7):

Pri izvođenju formule (17.7) nije uzeto u obzir da s vanjskim momentom usmjerenim, kao što je prikazano na sl. 31.7, prema prihvaćenom pravilu predznaka, moment savijanja je negativan. Ako ovo uzmemo u obzir, dakle desna strana formula (17.7) mora imati znak minus. Zatim, s pozitivnim momentom savijanja u gornjoj zoni grede (tj., na ), vrijednosti a će se pokazati negativnim, što će ukazivati ​​na prisutnost tlačnih naprezanja u ovoj zoni. Međutim, obično se znak minus ne stavlja na desnu stranu formule (17.7), a ova se formula koristi samo za određivanje apsolutnih vrijednosti naprezanja a. Stoga apsolutne vrijednosti momenta savijanja i ordinate y treba zamijeniti u formulu (17.7). Predznak naprezanja uvijek se lako određuje predznakom trenutka ili prirodom deformacije grede.

Sastavimo sada jednadžbu ravnoteže u obliku zbroja momenata svih sila koje djeluju na element grede u odnosu na y-os:

Ovdje predstavlja moment elementarne unutarnje sile oko y-osi (vidi sl. 35.7).

Zamijenimo vrijednost a u izraz (18.7) prema formuli (12.7):

Ovdje integral predstavlja centrifugalni moment tromosti poprečnog presjeka grede u odnosu na y i os. Stoga,

Ali budući da

Kao što je poznato (vidi § 7.5), centrifugalni moment tromosti presjeka jednak je nuli u odnosu na glavne osi tromosti.

U slučaju koji se razmatra, y-os je os simetrije poprečnog presjeka grede i, prema tome, y-osi i su glavne središnje osi tromosti ovog presjeka. Dakle, ovdje je zadovoljen uvjet (19.7).

U slučaju kada presjek savijenog nosača nema osi simetrije, uvjet (19.7) je zadovoljen ako ravnina djelovanja momenta savijanja prolazi kroz jednu od glavnih središnjih osi tromosti presjeka ili je paralelna na ovu os.

Ako ravnina djelovanja momenta savijanja ne prolazi ni kroz jednu od glavnih središnjih osi tromosti poprečnog presjeka grede i nije paralelna s njom, tada uvjet (19.7) nije zadovoljen i, prema tome, nema ravni zavoj- greda doživi kosi zavoj.

Formula (17.7), koja određuje normalno naprezanje u proizvoljnoj točki razmatranog presjeka grede, primjenjiva je pod uvjetom da ravnina djelovanja momenta savijanja prolazi kroz jednu od glavnih osi tromosti ovog presjeka ili je paralelna s njom. . U ovom slučaju, neutralna os poprečnog presjeka je njegova glavna središnja os tromosti, okomita na ravninu djelovanja momenta savijanja.

Formula (16.7) pokazuje da je pri izravnom čistom savijanju zakrivljenost zakrivljene osi grede izravno proporcionalna umnošku modula elastičnosti E i momenta tromosti.Proizvod ćemo nazvati krutošću presjeka pri savijanju; izražava se u itd.

Kod čistog savijanja grede konstantnog poprečnog presjeka, momenti savijanja i krutosti presjeka konstantni su duž njezine duljine. U ovom slučaju polumjer zakrivljenosti zakrivljene osi grede ima konstantnu vrijednost [vidi. izraz (16.7)], odnosno greda se savija duž kružnog luka.

Iz formule (17.7) proizlazi da najveća (pozitivna - vlačna) i najmanja (negativna - tlačna) normalna naprezanja u poprečnom presjeku grede nastaju u točkama koje su najudaljenije od neutralne osi, a nalaze se s njezine obje strane. Za poprečni presjek simetričan oko neutralne osi, apsolutne vrijednosti najvećih vlačnih i tlačnih naprezanja su iste i mogu se odrediti formulom

Za presjeke koji nisu simetrični u odnosu na neutralnu os, na primjer, za trokut, t-vrat itd., udaljenosti od neutralne osi do najudaljenijih rastegnutih i komprimiranih vlakana su različite; Stoga za takve dionice postoje dva momenta otpora:

gdje su udaljenosti od neutralne osi do najudaljenijih rastegnutih i stisnutih vlakana.