Бернуллі рівняння(інтеграл Бернуллі) в гідроаеромеханіці [[на ім'я швейцарського вченого Д. Бернуллі (D. Bernoulli)], одне з основних рівнянь гідромеханіки, яке при встановленому русі несжимаемой ідеальної рідини в однорідному полі сил тяжіння має вигляд:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
де v – швидкість рідини, ρ – її щільність, р – тиск у ній, h – висота рідкої частинки над деякою горизонтальною площиною, g – прискорення вільного падіння, С – величина, постійна на кожній лінії струму, але в загальному випадку змінює своє значення при переході від однієї лінії струму до іншої.

Сума перших двох членів у лівій частині рівняння (1) дорівнює повній потенційній, а третій член – кінетичній енергіям, віднесеним до од. маси рідини; отже, все рівняння виражає для рідини, що рухається, закон збереження механічної енергії і встановлює важливу залежність між v, p і h. Наприклад, якщо при незмінній h швидкість течії вздовж лінії струму зростає, тиск падає, і навпаки. Цей закон використовують при вимірюванні швидкості за допомогою вимірювальних трубок і при інших аеродинамічних вимірюваннях.

Рівняння Бернуллі подають також у вигляді
h + p/γ + v 2 /2g = C або
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(де γ = ρg - питома вага рідини). У 1-й рівності всі доданки мають розмірність довжини і називаються відповідною геометричною (нівелірною), п'єзометричною та швидкісною висотами, а в 2-му - розмірності тиску і відповідно називаються ваговим, статичним та динамічним тисками.

У загальному випадку, коли рідина є стисливою (газ), але баротропною, тобто р в ній залежить тільки від ρ, і коли її рух відбувається в будь-якому, але потенційному полі об'ємних (масових) сил (див. Силове поле), рівняння Бернуллі виходить як наслідок Ейлера рівнянь гідромеханіки і має вигляд:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
де П – потенційна енергія (потенціал) поля об'ємних сил, віднесена до од. маси рідини. При перебігу газів значення П мало змінюється вздовж лінії струму, і його можна включити до константи, представивши (3) у вигляді:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

У технічних додатках для течії, опосередкованого поперечним перерізом каналу, застосовують т.з. узагальнене рівняння Бернуллі: зберігаючи форму рівнянь (1) і (3), ліву частину включають роботу сил тертя і подолання гідравлічних опорів, а також механічну роботу рідини або газу (роботу компресора або турбін) з відповідним знаком. Узагальнене рівняння Бернуллі широко застосовується в гідравліці при розрахунку перебігу рідин та газів у трубопроводах та в машинобудуванні при розрахунку компресорів, турбін, насосів та інших гідравлічних та газових машин.

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

Бернуллі рівняння (інтеграл Бернуллі)

Бернуллі рівняння(інтеграл Бернуллі) в гідроаеромеханіці [[на ім'я швейцарського вченого Д. Бернуллі (D. Bernoulli)], одне з основних рівнянь гідромеханіки, яке при встановленому русі несжимаемой ідеальної рідини в однорідному полі сил тяжіння має вигляд:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
де v – швидкість рідини, ρ – її щільність, р – тиск у ній, h – висота рідкої частинки над деякою горизонтальною площиною, g – прискорення вільного падіння, С – величина, постійна на кожній лінії струму, але в загальному випадку змінює своє значення при переході від однієї лінії струму до іншої.

Сума перших двох членів у лівій частині рівняння (1) дорівнює повній потенційній, а третій член - кінетичній енергіям, віднесеним до од. маси рідини; отже, все рівняння виражає для рідини, що рухається, закон збереження механічної енергії і встановлює важливу залежність між v, p і h. Наприклад, якщо при незмінній h швидкість течії вздовж лінії струму зростає, тиск падає, і навпаки. Цей закон використовують при вимірюванні швидкості за допомогою вимірювальних трубок і при інших аеродинамічних вимірюваннях.

Рівняння Бернуллі подають також у вигляді
h + p/γ + v 2 /2g = C або
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(де γ = ρg - Питома вага рідини). У 1-му рівністі всі доданки мають розмірність довжини і називаються відповідної геометричної (нівелірної), п'єзометричної та швидкісної висотами, а в 2-му - розмірності тиску і відповідно називаються ваговим, статичним і динамічним тисками.

У загальному випадку, коли рідина є стисливою (газ), але баротропною, тобто р в ній залежить тільки від ρ, і коли її рух відбувається в будь-якому, але потенційному полі об'ємних (масових) сил (див. Силове поле), рівняння Бернуллі виходить як наслідок Ейлера рівнянь гідромеханіки і має вигляд:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
де П - Потенційна енергія (потенціал) поля об'ємних сил, віднесена до од. маси рідини. При перебігу газів значення П мало змінюється вздовж лінії струму, і його можна включити до константи, представивши (3) у вигляді:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

У технічних додатках для течії, опосередкованого поперечним перерізом каналу, застосовують т.з. узагальнене рівняння Бернуллі: зберігаючи форму рівнянь (1) і (3), ліву частину включають роботу сил тертя і подолання гідравлічних опорів, а також механічну роботу рідини або газу (роботу компресора або турбін) з відповідним знаком. Узагальнене рівняння Бернуллі широко застосовується в гідравліці при розрахунку перебігу рідин та газів у трубопроводах та в машинобудуванні при розрахунку компресорів, турбін, насосів та інших гідравлічних та газових машин.

Закон Бернулліє наслідком закону збереження енергії для стаціонарного потоку ідеальної (тобто без внутрішнього тертя) рідини, що не стискається:

Щільність рідини

Швидкість потоку,

Висота, на якій знаходиться елемент рідини, що розглядається,

Тиск у точці простору, де розташований центр маси елемента рідини, що розглядається,

Прискорення вільного падіння.

Константа у правій частині зазвичай називається натиском, або повним тиском, а також інтегралом Бернуллі. Розмірність всіх доданків - одиниця енергії, що припадає на одиницю об'єму рідини.

Це співвідношення, виведене Данилом Бернуллі в 1738 р., було названо на його честь рівнянням Бернуллі. (Не плутати з диференціальним рівнянням Бернуллі.)

Для горизонтальної труби h= 0 і рівняння Бернуллі набуває вигляду: .

Ця форма рівняння Бернуллі може бути отримана шляхом інтегрування рівняння Ейлера для стаціонарного одновимірного потоку рідини при постійній щільності ρ: .

Відповідно до закону Бернуллі повний тиск у потоці рідини, що встановився, залишається постійним вздовж цього потоку.

Повний тискскладається з гідростатичного (ρ gh), атмосферного (p) та динамічного тисків.

Із закону Бернуллі випливає, що при зменшенні перетину потоку через зростання швидкості, тобто динамічного тиску, статичний тиск падає. Це основна причина ефекту Магнуса. Закон Бернуллі справедливий і для ламінарних потоків газу. Явище зниження тиску зі збільшенням швидкості потоку є основою роботи різноманітних расходомеров (наприклад труба Вентури), водо- і пароструминних насосів.

Закон Бернуллі справедливий у чистому вигляді лише для рідин, в'язкість яких дорівнює нулю, тобто таких рідин, які не прилипають до поверхні труби. Насправді експериментально встановлено, що швидкість рідини на поверхні твердого тіла майже завжди точно дорівнює нулю (крім випадків відриву струменів за деяких рідкісних умов).

Закон Бернуллі можна застосувати до закінчення ідеальної стисливої ​​рідини через малий отвір у бічній стінці або дні широкої судини.

Відповідно до закону Бернуллі прирівняємо повний тиск на верхній поверхні рідини і на виході з отвору:

,

p 0 - атмосферний тиск,

h- Висота стовпа рідини в посудині,

v- Швидкість закінчення рідини.

Звідси: . Це - формула Торрічеллі (англ.). Вона показує, що при закінченні ідеальної несжимаемой рідини з отвору в широкій посудині рідина набуває швидкості, яку отримало б тіло, що вільно падає з висоти h.

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, визначальний тиск рв кожній точці потоку, що встановився ідеальної однорідної рідини або баротропного газу через швидкість потоку у відповідній точці і через силову функцію об'ємних сил: Постійна Симіє для кожної лінії струму своє значення, що змінюється при переході від однієї лінії струму до іншої. Якщо рух потенційний, то постійна для всього потоку одна і та ж. Для неусталеного руху Би. і. (Наз. іноді інтегралом Коші - Лагранжа) має місце за наявності потенціалу швидкостей: причому і є довільна функція часу. Для стисканої рідини ліва частина рівнянь (1), (2) наводиться до вигляду; для баротропного газу - на вигляд: Б. і. запропонований Д. Бернуллі (D. Bernoulli, 1738). Міл н-Томсон Л. М., Теоретична гідродинаміка, пров. з англ., М., 1964. Л. Н. Стрітенський.

Дивитись значення Бернуллі Інтегралв інших словниках

Інтеграл- М. математ. лат. кінцева, вимірна величина, до нескінченно малої частини її, до диференціала. ьное обчислення, мистецтво шукати інтеграл по диференціалу.........
Тлумачний словник Даля

Інтеграл- Інтеграла, м. (Від латин. integer - цілий) (мат.). Кінцева вимірювана величина по відношенню до нескінченно малої частини - до диференціала.
Тлумачний словник Ушакова

Інтеграл М.- 1. Ціла величина, що розглядається як сума своїх нескінченно малих частин.
Тлумачний словник Єфремової

Інтеграл- [Те], -а; м. [від лат. integer - цілий] Матем. Розмір, що у результаті дії, зворотного диференціюванню.
◁ Інтегральний, -а, -е. І-е обчислення (розділ математики,........
Тлумачний словник Кузнєцова

Бернуллі, Данило- (Bernoulli, Daniel) (1700-1782) Швейцарський математик і натураліст. Належав до знаменитої родини вчених, родоначальник якої Якоб Бернуллі був вихідцем із Голландії.
Економічний словник

Бернуллі Принцип- (D. Bernoulli, 1700-1782, швейц. вчений) правило, згідно з яким у сила скорочення м'яза за інших рівних умов пропорційна довжині її м'язових волокон, тобто ступеня її ........
Великий медичний словник

Бернуллі- (Bernoulli) Даніель (1700-82), швейцарський математик та фізик, член знаменитої родини математиків. У своїх працях з гідродинаміки показав, що тиск рідини зменшується........

Закон Бернуллі— , для стабільно поточного потоку (газу чи рідини) сума тиску, кінетичної енергії на одиницю об'єму та потенційної енергії на одиницю об'єму є постійною.
Науково-технічний енциклопедичний словник

Інтеграл- (Позначення т). Математичний символ, що використовується в ЗЛІЧЕННІ, що представляє операцію підсумовування. функції f(x), записаний як т f(x)dx, може представляти площу........
Науково-технічний енциклопедичний словник

Бернуллі- (Bernoulli) Йоганн (1667-1748) - іноземний почесний член Петербурзької АН (1725), брат Якоба. Праці з обчислення нескінченно малих та варіаційного обчислення.

Бернуллі Теорема- Одна з граничних теорем теорії ймовірностей; найпростіший випадок закону великих чисел, відноситься до розподілу відхилень частоти появи деякого випадкового ........
Великий енциклопедичний словник

Бернуллі Рівняння— пов'язує швидкість і тиск у потоці ідеальної стисливої ​​рідини при перебігу, що встановився. виражає закон збереження енергії рідини, що рухається. Широко застосовується........
Великий енциклопедичний словник

Інтеграл- (Від лат. integer - цілий) - дивне літочислення.
Великий енциклопедичний словник

Кратний Інтеграл- Інтеграл від функції декількох змінних. Визначається за допомогою інтегральних сум, аналогічно певному інтегралу від функції одного змінного (див. Інтегральне........
Великий енциклопедичний словник

Криволінійний Інтеграл- інтеграл від функції, заданої вздовж будь-якої кривої на площині або в просторі. Його можна звести до певного інтегралу, а за деяких додаткових умов........
Великий енциклопедичний словник

Невизначений Інтеграл
Великий енциклопедичний словник

Невласний Інтеграл- Узагальнення поняття інтеграла на випадковообмежених функцій і функцій, заданих на нескінченному проміжкуінтегрування.
Великий енциклопедичний словник

Визначений інтеграл- Див. Інтегральне числення.
Великий енциклопедичний словник

Поверхневий Інтеграл- Інтеграл від функції, заданої на будь-якій поверхні. За деяких умов його можна звести до потрійного інтегралу (Остроградська формула).
Великий енциклопедичний словник

Бернуллі, Данило- - Член Академії наук, математик і лікар, нар. 29 січня 1700 р. у Гренінгені, у Швейцарії, пом. 17 березня 1782 р. у Базелі. Родина Бернуллі походить з Антверпена. Рятуючись від релігійного........

Бернуллі, Іван— брат Данила Бернуллі, рід. у Базелі 18 травня 1710 р., пом. там-таки 18 липня 1790 р. У молодості він вивчав правознавство в базельському університеті. 14-ти років від народження отримав ступінь........
Велика біографічна енциклопедія

Бернуллі, Микола— юрист і математик, син Йоганна Бернуллі, рід. 27 січня 1695 р. у Гренінгені чи Базелі, пом. в С.-Петербурзі 29 липня 1726 р. Він з дитинства відрізнявся жвавістю розуму і видатними ........
Велика біографічна енциклопедія

Бернуллі, Яків— племінник Данила Бернуллі, професор математики в Петербурзі, нар. 27 жовтня 1759 р. у Базелі, пом. 15 липня 1789 р. у С.-Петербурзі. Закінчивши курс у базельському університеті,........
Велика біографічна енциклопедія

Інтеграл, Михайло- Видав збірну.
Велика біографічна енциклопедія

Бернуллі- (Bernoulli) - родина швейців. вчених у галузі муз. акустики. Йоганн Б. (17 VII 1667, Базель - 1 I 1748, там же) - автор дослідження "Винаходи в області коливання натягнутих хорд" ("Erfindungen........
Музична енциклопедія

Бернуллі, Розподіл- Див. Біномінальний розподіл.
Психологічна енциклопедія

Бернуллі, Тест— будь-який тест чи ситуація з двома взаємно виключаючими та вичерпними можливими результатами; наприклад, орел/рішка при підкиданні монети. У серії тестів Бернуллі.
Психологічна енциклопедія

Бернуллі Принцип- (D. Bernoulli, 1700-1782, швейц. вчений)
правило, згідно з яким сила скорочення м'яза за інших рівних умов пропорційна довжині її м'язових волокон, тобто ступеня........
Медична енциклопедія

Потреба-інтеграл— Термін Г. Мюррея, який використовується для того, щоб охарактеризувати динамічну інтеграцію моделей поведінки, включаючи шляхи, рухи, цілі та цільові об'єкти людини.
Психологічна енциклопедія

Розподіл Бернуллі- Див розподіл, біномінальний.
Психологічна енциклопедія

Інтеграл Бернуллі.

Надамо рівняння кількості руху іншу форму. Для цього скористаємось відомою формулою векторного аналізу

поклавши в ній. Отже, справедлива рівність

Τᴀᴋᴎᴎᴀᴀᴈᴏᴍ, рівняння кількості руху набуде вигляду рівняння Громеки – Лемба

(2.79)

Як ми переконаємося надалі, ця форма рівняння є надзвичайно зручною для аналізу течії ідеальної рідини.

Розглянемо спочатку випадок стаціонарної течії, тобто покладемо , і помножимо (2.48) скалярно на вектор. Тоді отримаємо

(2.80)

Оскільки масові сили мають потенціал П, то

Разом з тим, нехай існує функція тиску

Течії, в яких густина залежить тільки від тиску, називаються баротропними. Градієнт функції, рівний

може розглядатися як вектор об'ємної дії поверхневих сил, а сама функція як потенціал об'ємної дії поверхневих сил.

Τᴀᴋᴎᴎᴩᴀᴈᴏᴍ, (2.80) дає

Суму, що стоїть у дужках, називають тричленом Бернулліі позначають як У: .

Отже, де означає похідну, взяту вздовж лінії струму. Звідси слідує що B=constабо

(2.83)

Нагадаємо, що це співвідношення справедливе вздовж лінії струму. При переході від однієї лінії струму до іншої константа в принципі може змінюватися. Рівність (2.83) буде справедливо по всій області течії, якщо , Що можливо при або при .

Рівність (2.83) зветься інтеграла Бернуллі. Співвідношення (2.83) часто називають також теоремою (рівнянням) Бернуллі.

У гідромеханіці (і особливо в гідравліці) найбільш поширеним є випадок інтеграла Бернуллі для рідини, що не стискається. Покладемо ρ=const. Тоді . Вважатимемо, що рідина перебуває лише під впливом сил тяжкості, тобто. , де y- Вісь, спрямована вертикально вгору. Таким чином, теорема Бернуллі набуває наступної форми:

(2.84)

Якщо поділити всі члени на прискорення сили тяжіння gі позначити константу через Н*,то можна записати

, (2.85)

де - Питома вага; Н*– гідравлічна висота,

і дати теоремі Бернуллі класичне формулювання:

при стаціонарному русі важкої ідеальної стисливої ​​рідини гідравлічна висота Н*, рівна сумі швидкісної , п'єзометричної та нівелірної увисот, що зберігає постійне значення вздовж будь-якої лінії струму (або вихрової лінії).

У зневагі силами тяжкості теоремі Бернуллі можна надати більш простий вигляд:

(2.86)

Перший член лівої частини називають п'єзометричним натиском або статичним тиском, другий - швидкісним натиском або динамічним тиском. Права частина є повним тиском або тиском гальмування.

Розглянемо тепер адіабатичний перебіг води у межах невагомої ідеальної рідини. Відповідно до рівняння Тейта матимемо

Τᴀᴋᴎᴎᴩᴀᴈᴏᴍ, теорема Бернуллі для стисливої ​​води буде виглядати так:

(2.87)

Припустимо, що параметри рідина набуває в точці, де швидкість перетворюється на нуль. Якщо насправді така точка відсутня, то можна уявити собі уявний рух ідеальної рідини, що стискається, адіабатично її загальмовує. Величини й у разі називаються відповідно тиском і щільністю гальмування. При зробленому припущенні рівняння (2.87) набуде вигляду

(2.88)

Інтеграл Бернуллі. - Поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Інтеграл Бернуллі." 2017, 2018.